两连续型随机变量得到复合随机变量的分布函数及密度函数
分布函数法
X ， Y X，Y X，Y为两个连续型随机变量，并且 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) (X,Y)\sim f(x,y) (X,Y)∼f(x,y)，f为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度函数；
对于 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)，求Z的分布函数和概率密度；
F Z ( z ) = p { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y \displaystyle F_Z(z)=p\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=p{ Z≤z}=P{ g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy
f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) \displaystyle f_Z(z)=F_Z^{'}(z) fZ(z)=FZ′(z)
卷积公式法
X ， Y X，Y X，Y为两个连续型随机变量，并且 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) (X,Y)\sim f(x,y) (X,Y)∼f(x,y)，如果 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y（这里必须是一些简单的运算规则，加减乘除），并且 X ， Y X，Y X，Y独立，那么 Z Z Z的概率密度为：
f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x \displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx fZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx
例题：
第一问第二问就不说了，这题很显然， X ， Y X，Y X，Y分别服从于指数分布，第三问两种方法都可以，需要注意的是用卷积公式的时候，上下限的问题；
x > 0 x>0 x>0且 y > 0 y>0 y>0的时候， f f f不为0，我们要在这个范围内积分，又因为 Z = X + 2 Y Z=X+2Y Z=X+2Y，那么 z ≥ 2 y , z ≥ x z\geq 2y,z\geq x z≥2y,z≥x，如果对 x x x积分上下限是 ( 0 , z ) (0,z) (0,z)，如果对 y y y积分是 ( 0 , z / 2 ) (0,z/2) (0,z/2)；
这题里 X 、 Y X、Y X、Y独立，两种方法都可以；这题答案给的是第一种求分布函数；对于用卷积公式求，这题来说，因为 X X X服从正态分布，我们换 Y Y Y不换 X X X（所以我们需要对 x x x积分）；同样需要注意积分限的问题， Y ∈ ( − π , π ) Y\in (-\pi,\pi) Y∈(−π,π)，因为 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y，所以 X = Z − Y ∈ ( z − π , z + π ) X=Z-Y\in(z-\pi,z+\pi) X=Z−Y∈(z−π,z+π)；这题还需要对积分进行变换，变换成标准正态分布；