【BZOJ3670】【NOI2014】动物园 KMP变形 线性出解

       

3670: [Noi2014]动物园

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Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

 

Output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

        数据范围：多组数据且数据组数（n）<=5，字符串长度<=1*10^6(1000000)

        题意：定义新字符串前缀为其和等字符数量后缀完全相同且无重叠部分（等价于其长度小于等于当前总字符数量的一半），定义新数组num [i] 为到字符串前 i 个字符中“新前缀的个数”。

        如aaaaa ，num数组为0，1，1，2，2。

下列列举a时用角标表示第几个a

        num[1] : 不存在 ;

        num[2] : 前缀a1与后缀a2 ;

        num[3] : 前缀a1与后缀a3 ;

        num[4] : 前缀a1与后缀a4 ;前缀a1a2与后缀a3a4 ;

        num[5] : 前缀a1与后缀a5 ;前缀a1a2与后缀a4a5 ;

题解 :

        一看题目就知道是KMP，当然还需要一点小的处理：num数组的赋值。为了保证线性的时间复杂度，我们需要递推处理num数组，而不能对每个pre [i]进行递归“i = pre[i]” 操作求得使 i = 0 的次数，否则会TLE（博主亲测），同时递推处理num数组时不能使用pre[i]这个处理好的匹配值，更不能使用上一次匹配时完成的num数组，前者需要进行均摊约 log 级别的额外时间复杂度，后者则会因为处理过甚而忽略一定的新前缀数量导致WA。

        分析清楚了以后这道题就很水了。代码如下，fix1维护pre，fix2维护num。

#include 
#define N 1001000
char s[N];
long long pre[N],num[N],ans;
int i,fix1,fix2,n;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%s",s+1);
		ans=num[1]=1;
		for(fix1=fix2=0,i=2;s[i];i++)
		{
			while(fix1&&s[i]!=s[fix1+1])fix1=pre[fix1];
			if(s[i]==s[fix1+1])fix1++;
			pre[i]=fix1;
            
			num[i]=num[fix1]+1;
			while(fix2&&s[i]!=s[fix2+1])fix2=pre[fix2];
			if(s[i]==s[fix2+1])fix2++;
			while(fix2>i>>1)fix2=pre[fix2];
			ans*=num[fix2]+1;
			ans%=1000000007;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}