舞蹈链算法与数独求解

舞蹈链算法与数独求解

舞蹈链算法

舞蹈链算法用于求解精确覆盖问题 。
精确覆盖问题可以理解为如下问题：
给定一个01矩阵，寻找一个行的集合，使得集合中的列恰好满足每一列包含一个1。

例：矩阵

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜01010001010011010101⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

一个简单的算法思路是，第一步首先选择一行（假定为第一行）
第一行中第四列包含了一个1，而该列同样包含1的是第3行和第五行。是与上次选择相冲突的行列。
在矩阵中去除上述行列（第一行、第三行、第五行、第四列），获得如下矩阵。

(110001)

重复上述算法，选择第一行，去除冲突后发现为空矩阵。检查去除之前的矩阵，并不存在一行为全1。则证明上一次的选择有误。进行回溯。
对原始的矩阵，这一次选择第二行，去掉冲突的行列后获得矩阵。

⎛⎝⎜⎜⎜001100101011⎞⎠⎟⎟⎟

对于此矩阵，依次进行尝试。当选择第三行时，去除冲突后获得空矩阵，且去除前存在全1的行。得到结果。

所以求解思路可以概括为
1.选择一行
2.去除冲突的行列获得新矩阵
3.若矩阵为空，则判断去除之前的一行是否有全1，若存在则获得结果。若不存在则进行回溯，跳转到步骤1。若无矩阵可回溯，则输出不存在

在进行回溯时，可能会面临大量矩阵缓存的问题。舞蹈链算法就有效解决了这一问题。
舞蹈链算法使用的数据结构是双向十字交叉循环链表。
每一个元素都有6个属性，Left指向左边元素，Right指向右边元素，Up指向上面元素、Down指向下面元素、Col指示所在列，Row指示所在行。
这样做的好处是，我们在做回溯的时候，不再需要大量缓存矩阵。
删除元素时，假定同一行中连续三个元素为a、b、c，需要移除b时，只需要令a.Right = b.Right，c.Left = b.Left。
恢复元素时，只需找到b.Left指向元素a，令a.Right = b，找到b.Right指向元素c，令c.Left = b。

根据这一思路，可以将上述提及的矩阵转化为如下的链表

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜01010001010011010101⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

建立如图所示的链表结构，标识矩阵中为1的元素。
按照上面提及的算法思路，对链表进行操作。改变指针的指向即可达到删减元素的目的。

求解数独问题

数独问题有四个约束条件，即
1.所有格子必须填满数字
2.每一行都是1~9的一个排列
3.每一列都是1~9的一个排列
4.每一区域都是1~9的一个排列

可以将其转化为一个精确覆盖问题。
将矩阵的列定义为满足上述的一个约束条件，及第1~81列表示为约束条件：每个格子都有数字
第82~第162列分别定义为第一行存在数字1，第一行存在数字2…第一行存在数字9…第9行存在数字9
第163~第243列分别定义为第一列存在数字1，第一列存在数字2…第一列存在数字9…第9列存在数字9
第244~第234列分别定义为第一区域存在数字1，第一区域存在数字2…第一区域存在数字9…第9区域存在数字9

将可能的填入情况作为行，将约束条件作为列。

对于数独中已有的元素，可将其进行转化，如（1，3）中填入4，则代表满足了约束条件
1. (1,3)有数字
2. 第1行有4
3. 第3列有4
4. 第1区域有4
则第（1-1）×9+3=3列，
第（1-1）×9+4 + 81=85列，
第（3-1）×9+4 + 162=184列，
第（1-1）×9+4 + 243=247列为1，其余列为0。
将这样的一行插入到矩阵中。

对于数独中未知的元素，则分9种情况讨论，假定需要确定(1,3)位置的值。
假定填入1，则第3，82，181，244列为1，其余为0。
假定填入2，则第3，83，182，245列为1，其余为0。
…
将这样的9行插入到矩阵中。

将所有已知和未知元素都按照这样的方法插入到矩阵中以后。问题就转化为了一个精确覆盖问题。可以采用舞蹈链算法进行求解。