nssl 1519.背包签到题

$Description$

有$n$个物品，每个物品有$a_i$件，要选择$k$轮，每次可以选任意件物品，求本质不同的方案数

数据范围：

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$Solution$

$30pts$

考虑当$n=1$时怎么做，我们把最后一位定义为第一位，以此类推

设$f_{i,j}$表示当前进行到第$i$位，可供选择的数字有$j$个，令$s=\sum a_i+1$，则有

一位：$f_{1,s}=s$
二位：$f_{2,s}={\sum }_{i=1}^{s}i$
三位：$f_{3,s}={\sum }_{j=1}^s{\sum }_{i=1}^{j}i$
四位：$f_{4,s}={\sum }_{k=1}^s{\sum }_{j=1}^k{\sum }_{i=1}^{j}i$

得到递推式
$i$位：$f_{i,j}={\sum }_{l=1}^j{f}_{i-1,l}$

这样子是$O(k{s}^2)$的，考虑看一下$f_{i,j}$与$f_{i,j-1}$的关系，得到了
$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j}$
就$O(ks)$了，还是30分

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$50pts$

基于$30pts$

发现这个式子很像前缀和的形式，于是我们令$p_{i,j}={\sum }_{k=1}^j{f}_{i,k}$

则$p_{i,j}=p_{i,j-1}+f_{i,j}$
$f_{i,j}=p_{i-1,j}$

我们把$f$接到$p$的后面，然后做矩阵乘法，可以得到$50pts$【实测只有30，野鸡OJ太垃圾了】

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$100pts$

基于$30pts$
注意到$f$的方程相当于可以从上边和左边转移，也就是组合数$C_{k+a_i}^{a_i}$（每一步可以向上或向左边揍）

然后又发现$a_i$间互不干扰，直接乘起来即可

时间复杂度：$O(n{a}_i)$（可以通过预处理做到$O(n+a_i)$）

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$Code$

#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define mod 998244353
using namespace std;int n,s;
LL fac[110],inv[110],k,Ans=1,a[100011];
inline LL read()
{
     
	char c;LL d=1,f=0;
	while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	return d*f;
}
inline LL ksm(LL x,LL y)
{
     
	LL res=1;
	for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mod) if(y&1) (res*=x)%=mod;
	return res;
}
signed main()
{
     
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(register int i=2;i<=100;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[100]=ksm(fac[100],mod-2);
	for(register int i=99;i>1;i--) inv[i]=(1ll*inv[i+1]*(i+1))%mod;
	n=read();k=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++) 
	{
     	
		a[i]=read();
		for(register int j=0;j<a[i];j++) (Ans*=(k+a[i]-j+mod)%mod)%=mod;
		(Ans*=inv[a[i]])%=mod;
	}
	printf("%lld",Ans);
}