信号与系统2020参考答案（网络试卷）

 

00特殊情况说明

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在2020年春季学期，由于受到Coronavirus-19的影响，考试采用网络考试的形式：

• 通过网络学堂分发试卷和收集答案；
• 考试通过腾讯会议进行监考过程；
• 考试时间6月13日下午2:30-4:45

在试卷的第一页有“考试诚信承诺书”需要参试学生必须誊写在答题纸上的第一页。

^{▲ 网络考试诚信承诺书试卷布置情况}

 

01不定项选择题答案表格

一、不定项选择题：（10×1=10分，将答案写在试卷前面的答案表格1中）

1. 下面信号中，那些是能量有限信号？

2、下面信号中，那些是周期信号？

3. 下面系统中，属于时不变系统的包括哪些？其中 $x\left(t\right),x\left(t\right)$为系统的输入， $y\left(t\right),y\left[n\right]$为系统的输出。

4、下面各图中LTI系统函数的零极点分布，所描述的幅频特性为带阻系统为：

5、已知LTI系统在$x\left(t\right)$作用下系统零状态输出为$y\left(t\right)$ 。那么在$x_1\left(t\right)$ 作用下，系统的零状态输出为：

6、已知实信号 $x\left(t\right),y\left(t\right)$之间的关系为

下面关于信号$y\left(t\right)$ 的频谱 $Y\left(\omega \right)$叙述正确的是：

7、下面半边周期冲激序列的拉普拉斯变换为：

8、可能与下面s平面区域对应的z平面区域为（ ）：
9、如果模拟信号在采样频率${\omega }_s$ 下进行采样，转换成数字信号。那么其中模拟频率为 $\frac{{\omega }_s}{3}$的信号在采样后对应的数字信号频率（归一化频率）为：

10、下面周期信号中的频率成分包括有：

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02判断对错题答案表格

1、如果$x\left(t\right)$ 的Nyquist频率为${\omega }_N$ ，那么$x^2\left(t\right)$ 的Nyquist频率为 $2\cdot {\omega }_N$。

2、不存在信号本身与它的频谱都是有限长的信号。

3、有限冲激响应（FIR）滤波器的传递函数的分母是常量。

4、如果一个线性时不变离散时间系统的系统函数的收敛域包含单位圆，则系统是BIBO稳定的。

5、如果稳定最大相位的LTI系统函数具有靠近虚轴的零点，那么在零点对应虚轴所在的频率附近，系统的幅频特性有一个低谷，相位呈现下降趋势。

 

03填空题

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1、已知两个序列$u\left[n\right],v\left[n\right]$的波形如下图所示，请写出它两的卷积$w\left[n\right]=u\left[n\right]\ast v\left[n\right]$ 在 $n=2$时的取值：$w\left[2\right]=1$.

2、一个线性时不变系统的输入输出分别$x\left(t\right),y\left(t\right)$ ，它们之间的关系可以由下面的微分方程所描述：

其中 $w\left(t\right)$是中间变量。
那么该系统的系统函数为________。

系统的单位冲激响应 $h\left(t\right)=-\sin \left(t\right)\cdot u\left(t\right)$。

3、知信号$x\left(t\right)$ 的波形如下图所示，则该信号的拉普拉斯变换的表达式和响应的收敛域为：

收敛域为整个s平面。

4、已知连续时间LTI系统的单位冲激响应信号波形如下图(A)_{(F)所示，在下图后面给出了六种零极点分布示意图(1)}(6)，请按照(A)~(F)对应单位冲激响应波形写出对应系统零极点分布顺序:（4），（5），（6），（1），（2），（3）。

5、已知离散时间LTI系统的零极点分布如下面(1)_{(6)图所示意。在下图后面又给出了六种单位冲激响应序列波形图(A)}(F)。请写出(1)~(6)种零极点分布所对应的系统单位冲激响应序列的顺序：（D）,（E），（F），（A），（B），（C）。

6、 已知离散时间序列$x\left[n\right]$ 的表达式为：$x\left[n\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{a}^k\delta \left[n-5k\right]$ ，对应序列的图像为：

该序列信号的Z变换：

7、如果正弦波$x_a\left(t\right)=\cos \left(50t\right)$ 被采样，采样频率为 ${\omega }_s=30rad/s$。采样后的数据再经过DAC（数模转换）被转换成模拟信号。DAC的转换速率也是 30 rad/s。那么转换后重构的正弦信号的频率为： 10 rad/s 。

8、已知信号$x\left(t\right)$ 的拉普拉斯变换为:

则信号的初值$x\left(0_{+}\right)=-3$，信号的终值 ：$x\left(+\infty \right)=0.5$。

 

04简答题

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1、请解释什么叫做"吉布斯现象"，举例说明与"吉布斯现象"相关的物理现象。
"吉布斯现象"的一种解释：使用周期信号的有限项频谱合成的信号，如果原来的周期信号有间断点，合成信号在间断点出有过冲。过冲幅值大约是信号间断点跳跃幅值的9%左右。随着合成项数增加，过冲幅值维持在9%左右

举例：可以结合在现实生活中对应的有限带通系统在观察信号所出现的“振铃”现象进行说明，或者通过物理中的傅里叶光学现象来阐述光的衍射现象等。

2、请解释什么叫做"频率泄露"，并说明如何减少频率泄露现象对信号分析的影响。
对信号进行截取，截取后的信号频谱会出现"频率泄露"现象。信号频谱的高频段和低频段都会出现波动，并会出现过渡带。
下图显示了截取的sinc函数所对应的频谱出现的"频率泄露"现象。

回答体重需要包括产生“频率泄露”的原因来自于对信号的截取；“频率泄露”的现象反映在频谱的波动以及有过渡带等方面。
在减少频谱泄露对信号分析的影响方面需要包括有：扩大采集信号的时间窗口长度、使用光滑窗口对数据进行平滑等。

3、如果已知线性时不变系统的单位冲激相应信号 ，请说明如何判断系统的因果性、稳定性、可逆性、即时或者动态性。

通过语言或者公式对于LTI系统的单位冲激响应与系统的因果、稳定、可逆、即时动态等特性进行论述。

 

05计算题

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1.小题1

已知信号 $x\left(t\right)$的表达式为：

求信号的面积 $A={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)dt=?$

提示：

求解：

假设$X\left(\omega \right)=F\left\{x\left(t\right)\right\}$，有傅里叶的定义可以知道信号$x\left(t\right)$的面积为：

由分拆踹的变换频域卷积定理可知：
由：

所以：

为：

所以：
信号的面积为：${\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)dt=1$。

 

2.小题2

已知连续时间信号$x\left(t\right),y\left(t\right)$ 如下图所示，请写出它们的卷积结果$z\left(t\right)=x\left(t\right)\ast y\left(t\right)$ 的表达式，并绘制出结果的信号波形。

求解：

根据卷积定义，首先将两个信号的变量由 $t$修改成 $\lambda$。然后在选择其中一个信号进行反转平移。在这里选择$x\left(\lambda \right)$ 进行反转：

然后平移$x\left(-\lambda \right)$，形成$x\left(t-\lambda \right)$。

（1）当 $t\le -1$或者$t\ge 2$的时候，$x\left(t-\lambda \right),y\left(\lambda \right)$没有交集，卷积结果$z\left(t\right)=0$。

（2）当$-1\le t\le 0$时：

（3）当 $0\le t<1$时：

（4）当 $1\le t\le 2$ 时：

最后，将所有的结果写在一起：

 

3.小题3

已知某一z 变换的象函数

收敛域为 $1<\left|z\right|<2$，求出原序列。

求解：

对$X\left(z\right)$进行因式分解：

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-18
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy                  import abc,apart,print_latex
z=abc.z
numerator=2*z**3-5*z**2+z+3
denominator = (z-2)*(z-1)
print_latex(apart(numerator/denominator/z))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

根据收敛域$1<\left|z\right|<2$可以知道$x\left[n\right]$为：

解法二：

根据z逆变换公式：

因此$x\left[n\right]$就是求$X\left(z\right)\cdot z^{n-1}$的留数。根据n取值不同，下式

的具有不同的围线内的极点分布：
当$n\ge 1$时，上式具有$z=1$处的极点，所以：

当 $n=0$时，$z=0$，$z=1$是围线积分中的两个极点：
$$\mathrm{Re}s{\left[X\left(z\right)\cdot z^{n-1}\right]}_{z=0}={\frac{2z^3-5z^2+z+3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}|}_{z=2}=1.5$$$$\mathrm{Re}s{\left[X\left(z\right)\cdot z^{n-1}\right]}_{z=1}=-1$$

所以：$x\left[0\right]=0.5$。
当$n<0$，根据留数第二定理，通过计算围线之外极点的留数，取负之后获得积分数值：
$$x\left[n\right]=\mathrm{Re}s{\left[X\left(z\right)\cdot z^{n-1}\right]}_{z=2}=-2^{n-1}u\left[-n-1\right]$$

综上所示：

 

4.第四小题

已知离散时间线性时不变系统的频率特性为：$H\left(e^{j\Omega }\right)=j.\tan \left(\Omega \right)$ 。
请写出该离散时间统对应的差分方程。

求解：

根据：

所以：

将其中$e^{j\Omega }$替换成z，可以得到系统的传递函数：

所以离散时间系统对应的差分方程为：

 

06计算卷积

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已知序列$x\left[n\right]=[1,2,3,4,5],h\left[n\right]=\left[1,0,1,1\right]$。
求：
（1） $y\left[n\right]=x\left[n\right]\ast h\left[n\right]$
（2） $y\left[n\right]=x\left[n\right]{\otimes }_{7}h\left[n\right]$
（3） $y\left[n\right]=x\left[n\right]{\otimes }_{8}h\left[n\right]$

说明：序列$x\left[n\right],h\left[n\right]$中第一个数字对应下标$n=0$。
运算符号${\otimes }_7,{\otimes }_8$分别表示周期为7和8 的圆卷积。

求解：

（1） $x\left[n\right]\ast h\left[n\right]=\left[1,2,4,7,10,7,9,5\right]$
（2） $x\left[n\right]{\otimes }_{7}h\left[n\right]=\left[6,2,4,7,10,7,9\right]$
（3） $x\left[n\right]{\otimes }_{8}h\left[n\right]=\left[1,2,4,7,10,7,9,5\right]$

 

07系统分析题

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已知系统冲激响应

系统函数

试画出$\left|H\left(j\omega \right)\right|$ 和$\varphi \left(\omega \right)$ 的图形。

求解：

首先，由：

以及傅里叶变换的微分定理，可以知道：

因此：

相应的图形如下：

 

08系统分析题

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已知离散时间系统的系统框图如下图所示。其中子系统W的输入输出的关系为：

系统框图中的$z^{-1}$ 表示单位延迟

1. 请写出系统的传递函数$H\left(z\right)$ ;
2. 列写出输入$x\left[n\right]$ 输出 $y\left[n\right]$之间的差分方程;
3. 根据系统的零极点分布，绘制出系统的幅频特性，判断幅频特性的种类（低通、带通、高通、带阻）。

求解：

1、 根据子系统W的输入输出差分方程，可以得到W系统的传递函数：

根据系统框图可以知道：

那么：

2、 根据 $H\left(z\right)$可以得到输入输出$x\left[n\right],y\left[n\right]$ 之间的差分方程为：

前向差分方程：

后向差分方程：

以上两种形式的差分方程都是允许的。

3、 根据系统函数 的分子、分母的根，可以知道对应的零、极点分别是：

零极点分布如下图所示：

系统对应的幅频特性如下图所示。幅频特性属于带通滤波器。