牛顿迭代法实现开根号

什么是牛顿迭代法

牛顿迭代法，顾名思义，是一种通过迭代向目标值逼近的方法，常用于数值分析当中（比如求非基本函数的根）。
牛顿迭代可以证明从定义域内的任何初始点开始迭代，最终一定可以收敛到目标值。

牛顿迭代公式简单理解

将问题作如下简化：假设给定一个函数，求其零点。

可以看到在图中，初始点横坐标为p₀，从该点作切线与纵坐标相交于（p₁, 0），下一步又取p₁作为迭代的基本点，作切线得到p₂。直观地看到随着迭代p_n逐渐地逼近真正的零点p，假设在第n次迭代，p_n恰好等于p，则p_n+1也等于p，迭代的坐标不会再发生变化，此时就可以将p_n作为结果返回了。
迭代过程的公式为
$$p_{n+1}=p_n-\frac{f(p_n)}{f^{{}^{\prime }}(p_n)}$$
(斜率公式转换就可以了）

用牛顿迭代法实现开根号

其实就是自己实现sqrt()函数，如果从0开始遍历的话效率是比较低的，使用二分法也相对比较麻烦，最简单且高效的还是牛顿迭代法。

首先将问题转换，对A开根号相当于求函数$$f(x)=x^2-A$$的根。
对函数求导并套入公式中，接下来就可以愉快地等待迭代的结果啦。

代码：
ps: 采用的是整数除法，如果想要得到浮点数结果的话请自行修改数据类型。

int main() {
     
	int N;
	cin >> N;
	if (N <= 1) {
     
		cout << N << endl;
		return 0;
	}
    long long next = N;
    while(next > N / next) {
     
        next = (next + N / next) / 2;
    }
    cout << next << endl;
}