python机器学习案例系列教程——CTR/CVR中的FM、FFM算法
全栈工程师开发手册 （作者：栾鹏）
python教程全解
FM问题来源
CTR/CVR预测时，用户的性别、职业、教育水平、品类偏好，商品的品类等，经过One-Hot编码转换后都会导致样本数据的稀疏性。特别是商品品类这种类型的特征，如商品的末级品类约有550个，采用One-Hot编码生成550个数值特征，但每个样本的这550个特征，有且仅有一个是有效的（非零）。由此可见，数据稀疏性是实际问题中不可避免的挑战。
One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。例如，商品品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。
同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。
FM基本原理
多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。在多项式模型中，特征 xi x i 和 xj x j 的组合采用 xixj x i x j 表示，即 xi x i 和 xj x j 都非零时，组合特征 xixj x i x j 才有意义。从对比的角度，本文只讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下
其中， n n 代表样本的特征数量， xi x i 是第 i i 个特征的值， w0 w 0 、 wi w i 、 wij w i j 是模型参数。
从公式(1)可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)2 n ( n − 1 ) 2 个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 wij w i j 的训练需要大量 xi x i 和 xj x j 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足“ xi x i 和 xj x j 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 wij w i j 不准确，最终将严重影响模型的性能。
系数矩阵分解
那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。与在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵。
对于对称矩阵W，
由于直接求解W不方便，因此我们引入隐变量V：
满足
V V 的第 j j 列 vj v j 便是第 j j 维特征的隐向量。换句话说，每个参数 wij=⟨vi,vj⟩ w i j = ⟨ v i , v j ⟩ ，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）
参数个数
vi v i 是第 i i 维特征的隐向量， <⋅,⋅> < · , · > 代表向量点积。隐向量的长度为 k（k<<n k （ k << n ），包含 k k 个描述特征的因子。根据公式2，二次项的参数数量减少为 kn k n 个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 xhxi x h x i 的参数和 xixj x i x j 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说， xhxi x h x i 和 xixj x i x j 的系数分别为 <vh,vi> < v h , v i > 和 <vi,vj> < v i , v j > ，它们之间有共同项 vi v i 。也就是说，所有包含“ xi x i 的非零组合特征”（存在某个 j≠i j ≠ i ，使得 xixj≠0 x i x j ≠ 0 ）的样本都可以用来学习隐向量 vi v i ，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中， whi w h i 和 wij w i j 是相互独立的。
预测时间复杂度
显而易见，公式(2)是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。
当我们已经求出所有参数以后，对新输入对象进行预测时，FM的计算复杂度是 O(kn2) O ( k n 2 ) 。但是，通过公式(3)的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 O(kn) O ( k n ) 。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。
梯度下降法
利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下
其中， vj,f v j , f 是隐向量 vj v j 的第 f f 个元素。由于 ∑nj=1vj,fxj ∑ j = 1 n v j , f x j 只与 f f 有关，而与 i i 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 f f 的 ∑nj=1vj,fxj ∑ j = 1 n v j , f x j ，就能够方便地得到所有 vi,f v i , f 的梯度。显然，计算所有 f f 的 ∑nj=1vj,fxj ∑ j = 1 n v j , f x j 的复杂度是 O(kn) O ( k n ) ；已知 ∑nj=1vj,fxj ∑ j = 1 n v j , f x j 时，计算每个参数梯度的复杂度是 O(1) O ( 1 ) ；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 O(1) O ( 1 ) ；模型参数一共有 nk+n+1 n k + n + 1 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 O(kn) O ( k n ) 。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。
FFM原理
背景及基本原理
在FM模型中，每一个特征会对应一个隐变量，但在FFM模型中，认为应该将特征分为多个field，每个特征对应每个field分别有一个隐变量。
举个例子，我们的样本有3种类型的字段：publisher, advertiser, gender，分别可以代表媒体，广告主或者是具体的商品，性别。其中publisher有5种数据，advertiser有10种数据，gender有男女2种，经过one-hot编码以后，每个样本有17个特征，其中只有3个特征非空。简单来说，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field。
如果使用FM模型，则17个特征，每个特征对应一个隐变量。
如果使用FFM模型，则17个特征，每个特征对应3个隐变量，即每个类型对应一个隐变量，具体而言，就是对应publisher, advertiser, gender三个field各有一个隐变量。
在FFM中，每一维特征 xi x i ，针对其它特征的每一种field fj f j （其中 fj f j 表示第j维特征所属的field），都会学习一个隐向量 vi,fj v i , f j 。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。也就是说，“Day=26/11/15”这个特征与“国家”特征和“广告类型”特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“国家”和“广告类型”的内在差异相符。
假设样本的 n n 个特征属于 f f 个field，那么FFM的二次项有 nf n f 个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。
其中， fj f j 是第 j j 个特征所属的field。如果隐向量的长度为 k k ，那么FFM的二次参数有 nfk n f k 个，远多于FM模型的 nk n k 个。此外，由于隐向量与field相关，FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 O(kn2) O ( k n 2 ) 。
下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式[9]。输入记录如下
下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式[9]。输入记录如下
| 用户 | 电影 | 电影类型 | 价格 |
|---|---|---|---|
| user1 | 三傻 | 喜剧, 戏剧 | $9.99 |
这条记录可以编码成5个特征，其中“电影类型=喜剧”和“电影类型=戏剧”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。
| field name | Field index | Feature name | Feature index |
|---|---|---|---|
| User | 1 | User=YuChin | 1 |
| Movie | 2 | Movie=3Idiots | 2 |
| Genre | 3 | Genre=Comedy | 3 |
| Genre=Drama | 4 | ||
| Price | 4 | Price | 5 |
那么，FFM的组合特征有10项，如下图所示。
二次项的系数是通过与特征field相关的隐向量点积得到的，二次项共有 n(n−1)2 n ( n − 1 ) 2 个。
事实上，在大多数情况下，FFM模型只保留了二次项部分，省略常数项和一次项，即：
最优化问题
FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。根据逻辑回归的损失函数及分析，可以得出FFM的最优化问题为：
中， yi∈{−1,1} y i ∈ { − 1 , 1 } 是第 i i 个样本的label， L L 是训练样本数量， λ λ 是惩罚项系数。模型采用SGD优化
FFM代码实现
符号约定：
n n :特征的维数
m m :域的个数
k k :隐向量的维度
j j :在特征中的下标
f f :在域中的下标
d d :在隐向量中的下标
l l :样本的总数
粗体字母表示向量或矩阵
特征组合
最基本的线性加权
任意特征两两组合
w w 是一个对称方阵，即 wj1,j2=wj2,j1 w j 1 , j 2 = w j 2 , j 1 ，可以用矩阵分解法来拟合 w w 。
矩阵 w w 的规模是 n×n n × n ，矩阵 v v 的规模是 n×k n × k ， k≪n k ≪ n 。实际上我们已经推导出了因子分解法。
因子分解法FM
这里的 wj w j 相当于上面的 vj v j 。
域感知的因子分解法FFM
在FM中w是规模为 n×kFM n × k F M 的二维矩阵，而在FFM中 w w 是规模为 n×m×kFFM n × m × k F F M 的三维矩阵， kFFM≪kFM k F F M ≪ k F M 。
逻辑回归二分类
决策函数
带L2正则的目标函数
其中 yi∈{−1,1} y i ∈ { − 1 , 1 } ，注意，虽然在预测结果出来的是0-1之间数，但是训练时的y值取-1或1，所以当训练结束后，及测试集上测试，评估模型时，要将测试集的y值转换为0-1。
在SGD中每次只需要考虑一个样本的损失，此时目标函数为
梯度
梯度之所会这么简单，依赖一个很重要的前提：同一个域下的各个特征只有一个是非0值。
其中
AdaGrad更新w
初始化 Gd=1 G d = 1 ，这样在计算 ηGd√ η G d 时既可以防止分母为0，又可以避免该项太大或太小。
η η 是学习率，通常可取0.01。
初始的 w w 可以从均匀分布中抽样 w∼U(0,1k√) w ∼ U ( 0 , 1 k )
实现发现将每个 x x 归一化，即模长为1，在测试集得到的准确率会稍微好一点且对参数不太敏感。
FM代码示例
这里我们使用pyfm库。
FM和FFM的优势在于处理标称属性数据集再one-hot编码特征时形成的稀疏特征矩阵。所以pyfm库处理的矩阵，必须为稀疏矩阵。
import numpy as np
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.model_selection import train_test_split
import pylibfm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
import scipy.sparse
from sklearn.metrics import log_loss
X, y = make_classification(n_samples=1000,n_features=100, n_clusters_per_class=1) # 1000个样本，100个特征，默认2分类
# 直接转化为稀疏矩阵，对有标称属性的数据集不能处理。
# X = scipy.sparse.csr_matrix(X)
# X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1, random_state=42)
# 由于大部分情况下，数据特征都是标称属性，所以需要先转化为字典，再转化稀疏矩阵。（转化为系数矩阵的过程中标称数据自动one-hot编码，数值属性保留）
data = [ {v: k for k, v in dict(zip(i, range(len(i)))).items()} for i in X] # 对每个样本转化为一个字典，key为特征索引（0-99），value为特征取值
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data, y, test_size=0.1, random_state=42)
v = DictVectorizer()
X_train = v.fit_transform(X_train) # 转化为稀疏矩阵的形式，fm算法只能是被这种格式
X_test = v.transform(X_test) # 转化为稀疏矩阵的形式，fm算法只能是被这种格式
# print(X_train.toarray()) # 打印二维矩阵形式
# 建模、训练、预测、评估
fm = pylibfm.FM(num_factors=50, num_iter=10, verbose=True, task="classification", initial_learning_rate=0.0001, learning_rate_schedule="optimal")
fm.fit(X_train,y_train)
y_pred_pro = fm.predict(X_test) # 预测正样本概率
print("fm算法 验证集log损失: %.4f" % log_loss(y_test,y_pred_pro))
lr = LogisticRegression(verbose=True)
lr.fit(X_train,y_train)
y_pred_pro = lr.predict(X_test) # 预测正样本概率
print("逻辑回归 验证集log损失: %.4f" % log_loss(y_test,y_pred_pro))
#
输出结果中
fm算法 验证集log损失: 1.8714
[LibLinear]逻辑回归 验证集log损失: 7.2532
FFM代码实例
import numpy as np
np.random.seed(0)
import math
from logistic import Logistic
# 该类表示一个样本的一个特征
class FFM_Node(object):
'''
通常x是高维稀疏向量，所以用链表来表示一个x，链表上的每个节点是个3元组(j,f,v)，表示一个样本x的一个非0特征
'''
__slots__ = ['j', 'f', 'v'] # 按元组（而不是字典）的方式来存储类的成员属性
def __init__(self, j, f, v):
'''
:param j: Feature index (0 to n-1)
:param f: Field index (0 to m-1)
:param v: value
'''
self.j = j
self.f = f
self.v = v
class FFM(object):
def __init__(self, m, n, k, eta, lambd):
# m 域个数，n特征个数，k隐变量维度，eta学习速率，lambd正则系数
self.m = m
self.n = n
self.k = k
# 超参数
self.eta = eta
self.lambd = lambd
# 初始化三维权重矩阵w~U(0,1/sqrt(k))
self.w = np.random.rand(n, m, k) / math.sqrt(k)
# 初始化累积梯度平方和为，AdaGrad时要用到，防止除0异常
self.G = np.ones(shape=(n, m, k), dtype=np.float64)
self.log = Logistic()
# 特征组合式的线性加权求和
def phi(self, node_list):
# node_list: 一个样本，用链表存储x中的非0值
z = 0.0
for a in range(len(node_list)):
node1 = node_list[a]
j1 = node1.j
f1 = node1.f
v1 = node1.v
for b in range(a + 1, len(node_list)):
node2 = node_list[b]
j2 = node2.j
f2 = node2.f
v2 = node2.v
w1 = self.w[j1, f2]
w2 = self.w[j2, f1]
z += np.dot(w1, w2) * v1 * v2 # 域感知的因子分解法FFM
return z
# 输入x，预测y的值
def predict(self, node_list):
# node_list: 用链表存储x中的非0值
z = self.phi(node_list)
y = self.log.decide_by_tanh(z)
return y
# 根据一个样本来更新模型参数
def sgd(self, node_list, y):
# node_list: 用链表存储x中的非0值。 y: 正样本1，负样本-1
kappa = -y / (1 + math.exp(y * self.phi(node_list)))
for a in range(len(node_list)):
node1 = node_list[a]
j1 = node1.j
f1 = node1.f
v1 = node1.v
for b in range(a + 1, len(node_list)):
node2 = node_list[b]
j2 = node2.j
f2 = node2.f
v2 = node2.v
c = kappa * v1 * v2
# self.w[j1,f2]和self.w[j2,f1]是向量，导致g_j1_f2和g_j2_f1也是向量
g_j1_f2 = self.lambd * self.w[j1, f2] + c * self.w[j2, f1]
g_j2_f1 = self.lambd * self.w[j2, f1] + c * self.w[j1, f2]
# 计算各个维度上的梯度累积平方和
self.G[j1, f2] += g_j1_f2 ** 2 # 所有G肯定是大于0的正数，因为初始化时G都为1
self.G[j2, f1] += g_j2_f1 ** 2
# AdaGrad
self.w[j1, f2] -= self.eta / np.sqrt(self.G[j1, f2]) * g_j1_f2 # sqrt(G)作为分母，所以G必须是大于0的正数
self.w[j2, f1] -= self.eta / np.sqrt(self.G[j2, f1]) * g_j2_f1 # math.sqrt()只能接收一个数字作为参数，而numpy.sqrt()可以接收一个array作为参数，表示对array中的每个元素分别开方
# 根据一堆样本训练模型
def train(self, sample_generator, max_echo, max_r2):
'''
:param sample_generator: 样本生成器，每次yield (node_list, y)，node_list中存储的是x的非0值。通常x要事先做好归一化，即模长为1，这样精度会略微高一点
:param max_echo: 最大迭代次数
:param max_r2: 拟合系数r2达到阈值时即可终止学习
:return:
'''
for itr in range(max_echo):
print("echo", itr)
y_sum = 0.0
y_square_sum = 0.0
err_square_sum = 0.0 # 误差平方和
population = 0 # 样本总数
for node_list, y in sample_generator:
self.sgd(node_list, y)
y = 0.0 if y == -1 else y # 真实的y取值为{-1,1}，而预测的y位于(0,1)，计算拟合效果时需要进行统一
y_hat = self.predict(node_list)
y_sum += y
y_square_sum += y ** 2
err_square_sum += (y - y_hat) ** 2
population += 1
var_y = y_square_sum - y_sum * y_sum / population # y的方差
r2 = 1 - err_square_sum / var_y
print("r2=",r2)
if r2 > max_r2: # r2值越大说明拟合得越好
print('r2 have reach', r2)
break
# 序列化模型，保存到文件
def save_model(self, outfile):
np.save(outfile, self.w)
# 从文件中加载模型
def load_model(self, infile):
self.w = np.load(infile)
FM、FFM应用
库的安装教程https://blog.csdn.net/luanpeng825485697/article/details/77816740
pyfm库下载地址，在网址中搜索pyfm：https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#pyfm
fastfm下载地址：https://github.com/ibayer/fastFM
ffm库的下载地址：https://github.com/alexeygrigorev/libffm-python
参考：https://blog.csdn.net/jediael_lu/article/details/77772565
https://tech.meituan.com/deep-understanding-of-ffm-principles-and-practices.html
https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/8410719.html