【动态规划】股票买卖（两次买卖）

问题描述

最近越来越多的人都投身股市，阿福也有点心动了。谨记着“股市有风险，入市需谨慎”，阿福决定先来研究一下简化版的股票买卖问题。

假设阿福已经准确预测出了某只股票在未来 N 天的价格，他希望买卖两次，使得获得的利润最高。为了计算简单起见，利润的计算方式为卖出的价格减去买入的价格。

同一天可以进行多次买卖。但是在第一次买入之后，必须要先卖出，然后才可以第二次买入。

现在，阿福想知道他最多可以获得多少利润。

输入

输入的第一行是一个整数 T (T <= 50) ，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N (1 <= N <= 100, 000) ，表示一共有 N 天。第二行是 N 个被空格分开的整数，表示每天该股票的价格。该股票每天的价格的绝对值均不会超过 1,000,000 。

输出

对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福能够获得的最大的利润。

样例输入

3
7
5 14 -2 4 9 3 17
6
6 8 7 4 1 -2
4
18 9 5 2

样例输出

28
2
0

提示

对于第一组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 5 ），然后在第 2 天卖出（价格为 14 ）。第 2 次在第 3 天买入（价格为 -2 ），然后在第 7 天卖出（价格为 17 ）。一共获得的利润是 (14 - 5) + (17 - (-2)) = 28
对于第二组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 6 ），然后在第 2 天卖出（价格为 8 ）。第 2 次仍然在第 2 天买入，然后在第 2 天卖出。一共获得的利润是 8 - 6 = 2
对于第三组样例，由于价格一直在下跌，阿福可以随便选择一天买入之后迅速卖出。获得的最大利润为 0

解题思路

1、首先，要想理论最大就得在最低价买入，最高价卖出
2、用p[i]表示在第i次卖出时候能够获得的最大利润，那么就得找到在1~i-1天之间的最低价mn，mn=min(a[1] ~a[i-1]),最大利润就是p[i]-mn.
3、同样道理，q[i]表示在第i天买入时能够获得的最大利润，那么就得找到i+1 ~n之间的最高价，mx，最大利润=mx-q[i];
4、买卖两次获得最大利润，不知道该怎么说就是像下面这样：

ans=0;
int tmp=-10000;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
     
	tmp=max(tmp,p[i]);
	ans=max(ans,tmp+q[i]);
}

5、也有其他的办法，上面求得的p和q其实并不是像动态规划，一般的动态规划通常都是，p[i]表示前i天买卖获得的最大利润，而不是在第i天卖出时能获得的最大利润，所以稍微改动一下，p[i]=max(p[i-1],p[i])，这样p[i]就可以表示前i天买卖一次获得的最大利润了。

for(int i=2;i<=n;i++) 
    p[i] = max(p[i],p[i-1]);

同样道理啊，q[i]变成从第i天到第n天买卖一次获得的最大利润，q[i]=max(q[i+1],q[i])

for(int i=n-1;i>=1;i--) 
	q[i]=max(q[i],q[i+1]);

那么两次买卖获得的最大利润就是max(p[i-1],+q[i])

for(int i=2;i<=n-1;i++)
    if(p[i-1] + q[i] > ans) 
	    ans = p[i-1]+q[i];

完整代码

#include 
using namespace std;
int T, n, ans, mn, mx;
int a[100005], p[100005], q[100005];
int main(){
     
    scanf("%d",&T);
    //输入T组数据 
    while(T--)
	{
     
		scanf("%d",&n);
		//cin和scanf的区别是啥？ 
        for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%d", &a[i]);
        memset(p,0,sizeof(p)), memset(q,0,sizeof(q)); //初始化两个数组
		//要想利润最大道理很简单，那就是低价买入，高价卖出
		//因为要买两次，所以可以这样想，
		//p[i]表示在第i天卖出时候能够获得的最大利润
		//q[i]表示在第i天买入时候能够获得的最大利润
        mn = h[1], mx = h[n];//mn是最小值，mx是最大值 
        for(int i=2;i<=n;i++)
		{
     
            p[i] = a[i] - mn;//此时，p始终记录在第i个卖出时候能够得到的最大利润 
            if(a[i] < mn) mn = a[i];//mn是前i个数中的最小值 
        }
        for(int i=n-1;i>=1;i--)
		{
     
            q[i] = mx - a[i];//此时，q记录在第i个买入时能够获得的最大利润 
            if (a[i] > mx) mx = a[i];//mx就是从i到n-1中的最大值 
        }
        /*
        for(int i=2;i<=n;i++) 
		    p[i] = max(p[i],p[i-1]);//此时，p[i]变了，变成前i天中买卖一个获得的最大利润，不一定就是在第i天卖出了 
        for(int i=n-1;i>=1;i--) 
		    q[i]=max(q[i],q[i+1]);//此时，同理，q[i]也变了，从第i天开始到第n天的····· 
       
        for(int i=2;i<=n-1;i++)
            if(p[i-1] + q[i] > ans) 
			    ans = p[i-1]+q[i];//两次买卖获得的最大值就是p[i-1]和q[i]的和的最大值 
        */
		//用另一种方式来求也可以，像下面这样，都能AC 
		ans=0;
        int tmp=-10000;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
     
			tmp=max(tmp,p[i]);
			ans=max(ans,tmp+q[i]);
		}
		printf("%d\n", ans);        
    }
    
    return 0;
}