随机过程中的功率谱密度

背景

随机信号能量无限，不满足狄利克雷条件，故不能进行傅里叶变换。

基本概念

• 平稳随机过程
  统计特性与时间无关，所以利用其统计特性来分析问题，例如自相关系数是在各个样本上做的一个集合平均，只与时延$\tau$相关。
  $$R(\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]$$

• 维纳辛钦定理
  自相关系数与功率谱密度互呈傅里叶变换对。

功率谱特点

• 功率谱与幅度谱的关系
  $$S_x(\omega )=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X(T;\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega$$
• 功率谱特点
  正、实、偶（如果是实平稳过程即实信号）
• 物理意义
  物理上表示平均功率关于频率的分布。
  统计学上描述了各个频率分量对过程方差的贡献。