算法基础（三）：递归（二）

慕课：程序设计与算法（二）算法基础 郭玮老师课程的学习笔记

递归进阶运算，继续递归（一）难度提升

1、四则运算表达式计算

表达式本身就是一个递归的定义，表达式由符号和项组成，项又由因子和符号组成，因子由括号表达式和整数组成

所以表达式可以进行递归分析

表达式由项（+、-&项）组成，即如果项后还有项需要调用项方法term_value求项的值

而项里读取因子，项由多个因子和*、/组成，看是否有后续因子需要处理，即more来表示还没有*、/，即是否需要继续处理，如果需要则调用factor_value

因子又由括号表达式和整数组成，如果是表达式又需要调用表达式求值，如果是整数直接计算

因子有两种情况，一种是数字，一种是括号加表达式，所以需要用cin.peek()来看输入流的第一个，不取走

数字则按照十进制，result乘10+数；如果是括号表达式，则用表达式进行计算结果，调用expression_value()

即表达式、项、因子分别调用，组成一个递归形式

2、上台阶

爬楼梯分成两种情况，即走一级或走两级，所以将每种情况分为两部分，从第一步开始，第一步走一级+n-1步，第一步走两级+n-1步，n-1步中第一步又可以分为两种情况，以此类推，总之每次走都有两种情况

边界限制无穷递归的发生，一定要在递归函数中设置递归和边界条件，边界即停止的条件，通过判断可以发现，n可以分为小于0和0，或者0和1，或者1和2等情况，因为每次都计算n-1和n-2所以，要判断最后终止的情况

问题分解，第一步该怎么做根据第一步的做法来分类，剩下的问题就是子问题，子问题跟第一个问题形式相同只是数更少，

还要设置边界条件，即停止的条件，避免无穷递归的发生

3、放苹果

当盘子数大于苹果数，即i个苹果放在k个盘子上，等价于把空盘子都排除，将i个苹果放在i个盘子上

当盘子数小于苹果树，分为两种情况，盘子有空和盘子没空

如果有盘子为空，则等价于把i个苹果放到k-1个盘子，即排除空盘子

如果没有盘子为空，则可以每个盘子先放一个苹果，即每个盘子肯定至少有一个苹果，再分剩下的，则等价于i-k个苹果放到k个盘子的放法

边界条件为：

当没有苹果时，方法为1

当盘子为0时，方法为0

根据每次n-1和m-n来判断，边界条件

递归：

当盘子大于苹果时，将空盘子放一边，等价于将m个苹果放在m个盘子上

其余每种情况分为两种，盘子有空和盘子没空两种

4、算24

边界条件即剩一个数，一个数我们就可以直接判断是不是等于24

除法会造成浮点数，这时不能用==，而要用两个数的差是否小于一个很小的值

辅助的函数，即判断是否等于24和判断浮点数是否为0

枚举所有两个数的计算的可能的计算情况，当两个数是+时，再枚举剩下的数中两个数+的情况，以此类推，把每两个数的计算过程进行枚举，只要有一种情况满足即可，不需计算所有情况