算法基础（五）：分治

慕课：程序设计与算法（二）算法基础 郭玮老师课程的学习笔记

1、归并排序
2、快速排序
3、输出前m大的数
4、求排列的逆序数

分治：讲一个任务分成规模更小的多个任务分别处理，最后再处理这些任务的结果，实现整个任务的完成

实例：称假币

这个问题的解决方法有点类似于二分求解，将假币每次分成两份分别称量，

分治经常使用递归来实现，将币分一半，再分一半，直到无法分，是递归的思想

实际上很多算法都有相似之处，我们可以将算法放到一起去记忆，可能更有利于学习

1、归并排序

排序的复杂度是O(nlogn)，每个归并排序都是一半一半，即将数组分为一半排序后，再分为一半，直到只有一个元素就无需再分，然后将这些排好序的有序数组进行合并

这种将问题每次分成两部分直到无法分的思想就是分治，即将问题拆成一个个的小问题，然后再将结果归并

通常使用递归实现

归并排序需要额外存储空间同样大小的另外一个数组空间，即提高时间牺牲空间

分治：如果s=e则返回，即此时排序的数据只有一个无需再分

按照分治的思想先把前一半排序，再把后一半排序，所以递归实现分成前半部分和后半部分

对数组s到e排序，先分成s到中点m，再分成m+1到结尾e，一直分成两半，最后再归并，然后结果就是从s到e有序

归并merge方法，利用额外存储空间tmp减少了时间

归并：时间复杂度为线性复杂度，即O(n)。因为合并的两个数组有序，所以只需要从头到尾扫一遍两个数组即可，指针一开始指向开头，两个比较则小放进tmp暂时空间里，然后小的指针后挪，大的指针不动，以后每次都比较指针指着的元素，若小则移进空间中，并后移指针，大的则不动。

最后将tmp中的数组移到结果数组中

2、快速排序

最常用的排序算法

前提：k比较恰巧即左边和右边数差不多，处于中间的位置，此时使用快速排序的方法比较好

i和j指针会交换，如果a[j]>=k时，j前移，交换a[i]和a[j]；如果a[i]<=k，i后移，交换a[i]和a[j]

2次交换，通过交换，使得大于k的在右边，小于k的在左边

i和j分到一块则结束，数组分成两半

交换方法，参数引用，改变形参则实参也改变

每次都进行偶数次交换

奇数次交换，i

循环结束后，a[i]=k

再对左边和右边块排

当k在中间差不多的话，也是O(nlogn)

但是k不确保在中间，即左边和右边一样多，k为中点

运气不太坏的情况，相当于分治，两边数量差不多，每次都分一半

运气最坏的情况O(n^2)，例如k是最小的，前一半元素0个，后一半元素剩下的，这时候我们可以先随机打乱

3、输出前m大的数

a==k则最大的都在右边

a>k则，最大的k个数肯定在右边但是不一定全在右边

a需要将左边的k-1移过去

每次只做前半或者后半，

a*n就是把数组分两半的工作，

只对前部或后部操作

4、求排列的逆序数

递归求左半边和右半边逆序数，然后再求左半边取一个和右半边取一个组成逆序数，两者求和

枚举每一个作为左边，都要考察右边的所有数一旦发现一个少的则是

如果第一个i小于等于j，则左边所有的都无法与右边第一个形成

直到找到左边小于等于右边时，且j右边所有数都可以与i构成逆序