数学 —— 其他 —— 快速求逆平方根

【概述】

越底层的函数，调用越频繁，那么最底层的数学运算函数的优化至关重要。

当求逆平方根时，一般做法都是用函数返回 1/sqrt(x)，但在 雷神之锤3 中，有一快速求逆平方根的算法。

【知识储备】

1.单精度浮点数的存储

在计算机中，单精度浮点数使用 32 位来存储，其中，最高位为符号位，后面 8 位为整数位 ，代表浮点数的指数，再后面 23 位代表小数部分 ，依次表示 、、...

因此，如果 x 是一个正浮点数，则有：

如果想将一浮点数转为整数形式，则需要做如下运算：

其中，L 是指数部分唯一需要的次数，M 是小数部分对应的整数版本，B 为 127

2.牛顿迭代法

牛顿迭代法，是求解任意连续函数的根值的一种方法。

对于如上函数，现要求这个函数的根：首先猜一个 ，假设它是函数的解，但由于其实际不是，因此需要将这个解迭代，使其逼近真正的解。

在  处作其切线，求得切线方程：，并求切线的根，可以发现对于真正的解已经逼近了一步。

推广到 n，继续迭代，就足够逼近真正的解：

此时， 可被一个统一的函数来表示：

令 ε 为当前解与真正解 r 的距离，则：

综合方程，可得：

因此，只要 ε 小于某个特定的值，则可认为此时的  与方程的解十分接近

【源码】

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;
 
    x2 = number * 0.5F;
    y = number;
    i = * ( long * ) &y;// evil floating point bit level hacking
    i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );//what the fuck?
    y = * ( float * ) &i;
    y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//1st iteration （第一次牛顿迭代）
  //y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//2nd iteration, this can be removed（第二次迭代，可以删除）
 
    return y;
}

【分析】

如果要求一个浮点数的平方根倒数，一般求法为：

将其转化为关于 y 的方程，有：

转换为牛顿迭代法的方程，有：

此时，对原方程两边同取 2 的对数，有：

由于 ，则在这个区间内，可以近似取： 

根据方差的计算，当 σ=0.0430357 时，整体的偏差是最小的，此时上面的等号两边应该相当。

将上述公式整合，最终的  可以写成：

则：

其中：

最终，写成代码就是：

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

【关于源码】

求逆平方根的算法来自 雷神之锤3(quake3) 的作者卡马克，该算法并不复杂，其核心就是用牛顿迭代法来不断逼近，但卡马克真正厉害的地方，在于他选择了一个十分神秘的常数：0x5f3759df 来计算猜测值，于是第一次牛顿迭代算出的值已经非常接近  ，这样仅需两次牛顿迭代就可达到所需精度。

普渡大学的数学家 Chris Lomont 看了以后觉得有趣，决定要研究卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

Lomont 在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值：0x5f37642f，和卡马克的数字非常接近。

传奇并没有在这里结束。

Lomont 计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比较，看哪个数字能够更快更精确的求得逆平方根，结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后 Lomont 采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是：0x5f375a86。

Lomont 为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

论文下载地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf