数据结构与算法（九）：递归原理及其Python实现

一、什么是“递归”

递归，顾名思义，包括“递”和“归”两个过程，“递”的过程就是将原问题一层一层分解下去直到找到终止条件，“归”的过程就是从终止条件开始一层一层向上回归直到归并到原问题。

可以看出，递归需要满足三个条件：

• 原问题能够分解为若干个子问题；
• 子问题与原问题求解思路相同，只是数据规模不同；
• 存在终止条件；

一个经典的递归问题是：

假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？

求解该问题，可按照递归三个条件来进行：

1. 原问题可以分解为两个子问题：下一步走一个台阶、下一步走两个台阶；
2. 子问题与原问题求解思路相同，只是数据规模不同：；
3. 存在终止条件：；

二、Python使用递归实现走台阶

基于上述原理，可以轻松实现一个递归代码：

def walk_steps(n:int)->int:
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    return walk_steps(n-1) + walk_steps(n-2)

print(walk_steps(7))

三、递归转循环

递归编程思想简单，几行代码即可实现一个人脑思考不过来的递归问题，但却有着致命缺点：堆栈溢出、空间复杂度高！

在编程语言进行函数调用时，采用栈来存放临时变量，因此对于递归函数，其子问题的返回值都会临时存放在栈中，当数据规模变大时，其空间复杂度将极大地提高，容易造成堆栈溢出，函数求解将变得极其困难。

对于上述实现的递归代码，在小数据量时，感觉不到困难，但当数据规模（即总的台阶数n）变大时（大概超过40时）求解将变得极其缓慢，且继续增大到一定规模，就会报堆栈溢出的错误：

RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

因此，对于某些递归函数，如果可以转化为非递归，则能大大降低其空间复杂度，同时避免堆栈溢出。下面使用循环方式实现阶梯走法计算：

def walk_steps_circle(n:int)->int:
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    step1 = 1
    step2 = 2
    step_total = 0
    for i in range(3,n+1):
        step_total = step1 + step2
        step1 = step2
        step2 = step_total
    return step_total

walk_steps_circle(7)

大家可以在自己机器上试一下，分别给两个函数传入一个较大的参数，看看运行结果，即可发现其明显的差别。