于神之怒加强版 [Bzoj 4407]

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于神之怒加强版

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Description

给定 N , M , K .

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Input

输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数 T , K ，代表有 T 组数据， K 的意义如上所示，下面第二行到第 T+1 行，每行为两个正整数 N , M ，其意义如上式所示。

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Output

如题

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Sample Input

1 2
3 3

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Sample Output

20

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Hint

1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

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Solution

ans=∑t=1n⌊mt⌋⌊nt⌋⋅∑p|tpk⋅μ(tp)

所以我们只需要求出 f(t)=∑p|tpk⋅μ(tp) 的前缀和即可。
注意到 pk 、 μ(p) 均为积性函数，所以设 g(p)=pk ，则 g∗μ 也为积性函数。
因为 g∗μ=∑p|tpk⋅μ(tp)=f(t) ，所以 f(t) 为积性函数。

所以设 t=∏si=1pqii ，则 f(t)=∏si=1(pqiki−pqik−ki) ，然后用线性筛乱搞就可以了。

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Code

#include 
#include 
#include  
#include 

#define LL long long
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define MAXN (5000000)
#define MOD (1000000007)

using namespace std;

bool no_prime[MAXN+10];
LL prime[MAXN+10];
LL sum[MAXN+10];
LL p[MAXN+10];
LL f[MAXN+10]; 
LL n,m,k,T,ans;

LL powerm(LL x,LL y){
    if(p[x]!=0)return p[x];
    if(y==0)return p[x]=1;
    if(y==1)return p[x]=x%MOD;
    LL tmp=powerm(x,y/2);
    if(y&1)return p[x]=tmp*tmp%MOD*(x%MOD)%MOD;
    return p[x]=tmp*tmp%MOD;
}

int main(){

    scanf("%lld%lld",&T,&k);

    f[1]=1;
    sum[1]=1;

    for(LL i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!no_prime[i]){prime[++prime[0]]=i;f[i]=(powerm(i,k)-1);}
        for(LL j=1;prime[j]*i<=MAXN;j++){
            no_prime[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                f[prime[j]*i]=f[i]*(f[prime[j]]+1)%MOD;
                break;
            }
            f[prime[j]*i]=f[i]*f[prime[j]]%MOD;
        }
        sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%MOD;
    }

    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        LL ans=0;
        if(n>m)swap(n,m);
        for(LL i=1,it;i<=n;i=it+1){
            it=Min(m/(m/i),n/(n/i));
            ans=(ans+(m/i)*(n/i)%MOD*((sum[it]-sum[i-1])%MOD)%MOD)%MOD;
        }
        printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}