莫比乌斯反演证明

首先定义几个概念:

1,卷积:
是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算定义为

可以证明,卷积运算满足:
1)交换律:
由定义显然。

2)结合律:
考察两边作用在上,左边是

右边是

故两边相等。

3)存在单位元使得
我们需要

故不难猜到应该定义为
事实上,直接验证可得


以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。


2,乘法单位元
上面的是数论函数在卷积意义下的单位元,而普通乘法意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数,记作


3,莫比乌斯函数
在卷积意义下的逆元,称为莫比乌斯函数。也就是说是满足

的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
…………(*)

通常,莫比乌斯函数定义为

,如果能写成个不同素数之积;
,其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于,(*)式成立;
对于,用算术基本定理把写成

于是
\begin{align}\sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\=& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\=&(1-1)^k=0\end{align}



现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢?

当且仅当

换而言之,


证明:

反之

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