【题解】Codeforces Round #569 (Div. 1) - 1179D. Fedor Runs for President

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题意

树上加一条边，使简单路径数量最多

题解

加一条边以后，会生成一个环。环上挂着的子树内部仅有一条路径，子树之间就有两条路径。
所以要最小化的式子：${\sum }_{i为环上点}s{z}_i\ast (s{z}_i-1)/2$

然后就考虑树形DP，$f[x]表示x向父亲延伸出的路径在最终的环上，在子树中上式的最小值$

转移很显然，挑一个最优的儿子接上去

但是在每个点处都要统计答案，即挑两个儿子$x,y：min(f[x]+f[y]+(n-sz[x]-sz[y])\ast (n-sz[x]-sz[y]-1)/2$

方法1：拆开式子，斜率优化 code
方法2：观察到对于每个sz（子树大小），只有一个DP值是最优的。只需要对不同的子树大小进行枚举。于是对于每个点，复杂度为它不同大小子树个数的平方 code

可以证明这样复杂度是，$O(nloglogn)$ ， 具体证明见 这里

总结

这题我是去年8月份做的。当时把贡献式子推错了（没有把同一子树的不同兄弟合并到一起算贡献），按照这种错误做法可以直接树形DP。后来WA 4，（可能看了题解后，记不得了）写的是斜率优化
然而在2020.2，回过头来复习的时候，我又犯了同样的错误。写了一个几乎相同的树形DP，还是WA 4，错误答案都是一样的
这个教训是很深刻的！对以前做过的题目，犯过的错误掌握 的并不牢！
复习是必要的。并且当时做题的时候肯定没有扎实的想清楚为什么会犯错
错误的主要原因是写转移的时候没有把细节想清楚，以为这里很简单，随便推推就好了。疏忽了当延伸到上面去的时候儿子们之间要合并