【MOOC】信息安全数学基础（上交）（2）同余

同余的基本概念和性质

同余是一种等价关系，所以可以借助同余来对整数进行分类，并将每类当作一个数来看待，进而得到整数的一些新性质。
（1.1）给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足 a - b 能够被 m 整除，即$m|a-b$，那么就称整数a与b模m同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
例如：29 ≡ 1（mod7）
（1.2）同余判定1：$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的充要条件是存在一个整数q使得 $a=b+q\cdot m$
（1.3）自反性、对称性、传递性
（1.4）同余判定2：由最小非负余数来判断同余。$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的充要条件是a，b被m除之后的余数相同
（1.5）同余性质1：加法乘法运算性质。设a₁，a₂，b₁，b₂是整数，若$a_1\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),a_2\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则有$a_1+a_2\equiv b_1+b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，a_1\cdot a_2\equiv b_1\cdot b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
例如：已知39≡4(mod7)，22≡1(mod7)，那么可以得：
39+22= 61 ≡ 5 =4+1 (mod7)
39-22= 17 ≡ 3 =4-1 (mod7)
39·22= 858 ≡ 4 =4·1 (mod7)
例如：2018年9月12日是星期三，问第2^20180912天是星期几？
因为2¹ ≡ 2，2² ≡ 4，2³=8 ≡ 1(mod7)，又20180912=6726970*3+2，所以2^20180912 = （2³）^6726970·2² ≡ 1·4 ≡ 4（mod7）
（1.6）同余性质2：若$x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),a_i\equiv b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，0\le i\le k$，则有$$a_0+a_1\cdot x+\cdot \cdot \cdot +a_i\cdot x^k\equiv b_0+b_1\cdot y+\cdot \cdot \cdot +b_i\cdot y^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
（1.7）同余性质3：设$n=a_{k}10^k+\cdot \cdot \cdot +a_{1}10+a_0,0\le a_i\le 10$，因为10 ≡ 1（mod3），所以
$$3|n\iff 3|a_k+\cdot \cdot \cdot +a_0；9|n\iff 9|a_k+\cdot \cdot \cdot +a_0;$$
例如：n=6376936，6+3+7+6+9+3=30，又3|30，9不整除30，所以n能被3整除，不能被9整除。
（1.8）同余性质4：$d\cdot a\equiv d\cdot b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),(d,m)=1,则a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
（1.9）同余性质5：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),则\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m}{d}),若d|m,则a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$
（1.10）同余性质6：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q),则a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\cdot q)$
（1.11）同余性质6：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),则(a,m)=(b,m).$

剩余类和完全剩余系

非空集合C_a = { $c|c\in Z，c\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$}，a∈C_a，任何整数都存在一个$C_i$ 中。C_a叫做模 m 的 a 的剩余类，类中的人一个数叫做该类的剩余或代表元。
（2.1）$C_a=C_b\iff a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，$C_a\cap C_b=\varnothing \iff a̸=b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

简化剩余系与欧拉函数

欧拉定理 费马小定理 Wilson定理

模重复平方法