【MOOC】信息安全数学基础(上交)(2)同余

文章目录

  • 同余的基本概念和性质
  • 剩余类和完全剩余系
  • 简化剩余系与欧拉函数
  • 欧拉定理 费马小定理 Wilson定理
  • 模重复平方法

同余的基本概念和性质

同余是一种等价关系,所以可以借助同余来对整数进行分类,并将每类当作一个数来看待,进而得到整数的一些新性质。
(1.1)给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足 a - b 能够被 m 整除,即 m ∣ a − b m|a-b mab,那么就称整数a与b模m同余,记作 a ≡ b ( m o d m ) a≡b({\rm mod}m) ab(modm)
例如:29 ≡ 1(mod7)
(1.2)同余判定1 a ≡ b ( m o d m ) a≡b({\rm mod}m) ab(modm)的充要条件是存在一个整数q使得 a = b + q ⋅ m a=b+q·m a=b+qm
(1.3)自反性、对称性、传递性
(1.4)同余判定2:由最小非负余数来判断同余。 a ≡ b ( m o d m ) a≡b({\rm mod}m) ab(modm)的充要条件是a,b被m除之后的余数相同
(1.5)同余性质1:加法乘法运算性质。设a1,a2,b1,b2是整数,若 a 1 ≡ b 1 ( m o d m ) , a 2 ≡ b 2 ( m o d m ) a_1≡b_1({\rm mod}m),a_2≡b_2({\rm mod}m) a1b1(modm),a2b2(modm),则有 a 1 + a 2 ≡ b 1 + b 2 ( m o d m ) , a 1 ⋅ a 2 ≡ b 1 ⋅ b 2 ( m o d m ) a_1+a_2≡b_1+b_2({\rm mod}m),a_1·a_2≡b_1·b_2({\rm mod}m) a1+a2b1+b2(modm)a1a2b1b2(modm)
例如:已知39≡4(mod7),22≡1(mod7),那么可以得:
39+22= 61 ≡ 5 =4+1 (mod7)
39-22= 17 ≡ 3 =4-1 (mod7)
39·22= 858 ≡ 4 =4·1 (mod7)
例如:2018年9月12日是星期三,问第220180912天是星期几?
因为21 ≡ 2,22 ≡ 4,23=8 ≡ 1(mod7),又20180912=6726970*3+2,所以220180912 = (236726970·22 ≡ 1·4 ≡ 4(mod7)
(1.6)同余性质2:若 x ≡ y ( m o d m ) , a i ≡ b i ( m o d m ) , 0 ≤ i ≤ k x≡y({\rm mod}m),a_i≡b_i({\rm mod}m),0≤i≤k xy(modm),aibi(modm)0ik,则有 a 0 + a 1 ⋅ x + ⋅ ⋅ ⋅ + a i ⋅ x k ≡ b 0 + b 1 ⋅ y + ⋅ ⋅ ⋅ + b i ⋅ y k ( m o d m ) a_0+a_1·x+···+a_i·x^k≡b_0+b_1·y+···+b_i·y^k({\rm mod}m) a0+a1x++aixkb0+b1y++biyk(modm)
(1.7)同余性质3:设 n = a k 1 0 k + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 10 + a 0 , 0 ≤ a i ≤ 10 n=a_k10^k+···+a_110+a_0,0≤a_i≤10 n=ak10k++a110+a0,0ai10,因为10 ≡ 1(mod3),所以
3 ∣ n ⇔ 3 ∣ a k + ⋅ ⋅ ⋅ + a 0 ; 9 ∣ n ⇔ 9 ∣ a k + ⋅ ⋅ ⋅ + a 0 ; 3|n⇔3|a_k+···+a_0; 9|n⇔9|a_k+···+a_0; 3n3ak++a09n9ak++a0;
例如:n=6376936,6+3+7+6+9+3=30,又3|30,9不整除30,所以n能被3整除,不能被9整除。
(1.8)同余性质4 d ⋅ a ≡ d ⋅ b ( m o d m ) , ( d , m ) = 1 , 则 a ≡ b ( m o d m ) d·a≡d·b({\rm mod}m),(d,m)=1,则a≡b({\rm mod}m) dadb(modm),(d,m)=1,ab(modm)
(1.9)同余性质5:若 a ≡ b ( m o d m ) , 则 a d ≡ b d ( m o d m d ) , 若 d ∣ m , 则 a ≡ b ( m o d d ) a≡b({\rm mod}m),则\frac{a}{d}≡\frac{b}{d}({\rm mod}\frac{m}{d}),若d|m,则a≡b({\rm mod}d) ab(modm),dadb(moddm),dm,ab(modd)
(1.10)同余性质6:若 a ≡ b ( m o d p ) , a ≡ b ( m o d q ) , 则 a ≡ b ( m o d p ⋅ q ) a≡b({\rm mod}p),a≡b({\rm mod}q),则a≡b({\rm mod}p·q) ab(modp),ab(modq),ab(modpq)
(1.11)同余性质6:若 a ≡ b ( m o d m ) , 则 ( a , m ) = ( b , m ) . a≡b({\rm mod}m),则(a,m)=(b,m). ab(modm),(a,m)=(b,m).

剩余类和完全剩余系

非空集合Ca = { c ∣ c ∈ Z , c ≡ a ( m o d m ) c|c∈Z,c≡a({\rm mod}m) ccZca(modm)},a∈Ca,任何整数都存在一个 C i C_i Ci 中。Ca叫做模 m 的 a 的剩余类,类中的人一个数叫做该类的剩余代表元
(2.1) C a = C b ⇔ a ≡ b ( m o d m ) C_a = C_b ⇔ a≡b({\rm mod}m) Ca=Cbab(modm) C a ∩ C b = ∅ ⇔ a ≠ b ( m o d m ) C_a ∩ C_b=∅ ⇔ a≠b({\rm mod}m) CaCb=a̸=b(modm)

简化剩余系与欧拉函数

欧拉定理 费马小定理 Wilson定理

模重复平方法

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