频域滤波—方波变换中的沃尔什变换与哈达玛变换

沃尔什变换

沃尔什变换是由+1或-1的基本函数的级数展开而成的，满足完备正交特性，属于方波型正交变换。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理

一维沃尔什变换

沃尔什变换要求空域矩阵阶数$N$满足$N=2^n$，若满足，则有：$$F(\mu )=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu )$$$$g(x,\mu )=\frac{1}{N}\prod _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i(x)b_{n-1}(\mu )}$$一维沃尔什反变换：$$f(x)=\sum _{x=0}^{N-1}F(\mu )h(x,\mu )$$$$h(x,\mu )=\prod _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i(x)b_{n-1}(\mu )}$$其中，$b_i(x)$是$x$的二进制表达式中第$i$位的意思
例如$N=2^n$，$n=3$，$x=6$，则有$x=6=(110{)}_2$，可得$b_0(x)=0$、$b_1(x)=1$、$b_2(x)=1$

与傅立叶变换不同，沃尔什变换的变换核是由+1或-1构成的二值对称矩阵

例如：求$N=2^2$的沃尔什变换$$F(0)=\frac{1}{4}\sum _{x=0}^3[f(x)\prod _{i=0}^1(-1{)}^{b_i(x)+b_{1-i}(0)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]$$$$F(1)=\frac{1}{4}\sum _{x=0}^3[f(x)\prod _{i=0}^1(-1{)}^{b_i(x)+b_{1-i}(1)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)-f(2)-f(3)]$$$$F(2)=\frac{1}{4}\sum _{x=0}^3[f(x)\prod _{i=0}^1(-1{)}^{b_i(x)+b_{1-i}(2)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)+f(2)-f(3)]$$$$F(3)=\frac{1}{4}\sum _{x=0}^3[f(x)\prod _{i=0}^1(-1{)}^{b_i(x)+b_{1-i}(3)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)-f(2)+f(3)]$$其中方括号中各项的符号即位变换核的符号

可见沃尔什变换的本质是将离散序列$f(x)$中各项值的符号按规律改变进行加减运算

二维沃尔什变换

$$F(\mu ,\nu )=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu ,\nu )$$$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum _{\mu =0}^{N-1}\sum _{\nu =0}^{N-1}F(\mu ,\nu )g(x,y,\mu ,\nu )$$$$g(x,y,\mu ,\nu )=G=\frac{1}{N}\prod _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_{n-1-i}(\mu )+b_i(y)b_{n-1-i}(\nu )]}$$表达为矩阵形式为$$F=\frac{1}{N^2}GfG$$$$f=GFG$$

与傅立叶变换一样，二维沃尔什变换是可分离的，可以通过两个一维沃尔什变换完成计算$$g(x,y,\mu ,\nu )=g_1(x,\mu )g_2(y,\nu )$$

实例：求离散沃尔什变换
$$f=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]$$可知$N=4$，其变换核为$$G=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$$则有$$F=\frac{1}{N^2}GfG=\frac{1}{4^2}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$可以看出，沃尔什变换具有信息集中的作用，原始数据中数字越是均匀分布，变换后的数据越是集中于边角区域

哈达玛变换

与沃尔什变换类似，由哈达玛变换核组成的矩阵是一个正交对称矩阵，属于方波型正交变换，不同之处在于其行、列次序不一样。

一维哈达玛变换

哈达玛变换要求空域矩阵阶数$N$满足$N=2^n$，若满足，则有：$$F(\mu )=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu )$$$$g(x,\mu )=\frac{1}{N}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i(x)b_i(\mu )}$$一维哈达玛反变换：$$f(x)=\sum _{x=0}^{N-1}F(\mu )h(x,\mu )$$$$h(x,\mu )=(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i(x)b_i(\mu )}$$$b_i(x)$是$x$的二进制表达式中第$i$位的意思

二维哈达玛变换

$$F(\mu ,\nu )=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu ,\nu )$$$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum _{\mu =0}^{N-1}\sum _{\nu =0}^{N-1}F(\mu ,\nu )g(x,y,\mu ,\nu )$$$$g(x,y,\mu ,\nu )=G=\frac{1}{N}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_i(\mu )+b_i(y)b_i(\nu )]}$$二维哈达玛变换是可分离的，可变换为两个一维哈达玛变换来进行计算。

列率
在哈达玛矩阵中，沿列方向上符号改变的次数称为列率，类似傅立叶变换中频率的概念。

例如有矩阵$H=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$
其第一列元素符号无变化，于是第一列的列率为0；
第二列$a_{12}$到$a_{22}$符号由正变负、$a_{22}$到$a_{32}$符号由负变正、$a_{32}$到$a_{42}$符号由正变负，共改变3次，因此第二列的列率为3；以此类推，第三列的列率为1，第四列的列率为2

哈达玛变换在列率上是随机的，不利于实现逐次倍加法的快速运算，但是能导出一个简单的递推关系，构造其变换矩阵，而后进行哈达玛正向和反向变换

哈达玛变换核矩阵
在满足$N=2^n$的情况下
有最低阶$N=2$时的哈达玛变换矩阵$H_2$为：$$H_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$有任意阶$N=2N$时的哈达玛矩阵为：$$H_{2N}=\left[\begin{array}{cc}{H}_N& H_N\\ H_N& -H_N\end{array}\right]$$由此可推得：$$H_4=\left[\begin{array}{cc}{H}_2& H_2\\ H_2& -H_2\end{array}\right],H_8=\left[\begin{array}{cc}{H}_4& H_4\\ H_4& -H_4\end{array}\right],...$$
将哈达玛矩阵按照列率顺序排列，得到定序的哈达玛变换对为：$$F(\mu ,\nu )=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu ,\nu )$$$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum _{\mu =0}^{N-1}\sum _{\nu =0}^{N-1}F(\mu ,\nu )g(x,y,\mu ,\nu )$$$$g(x,y,\mu ,\nu )=G=\frac{1}{N}(-1{)}^{{\sum }_{i=0}^{n-1}[b_i(x)p_i(\mu )+b_i(y)p_i(\nu )]}$$其中$$\begin{array}{rl}{p}_0(\mu )& =b_{n-1}(\mu )\\ p_i(\mu )& =b_{n-i}(\mu )+b_{n-1-i}(\mu )\end{array}$$表达为矩阵形式为$$F=\frac{1}{N^2}HfH$$$$f=HFH$$

实例：求离散哈达玛变换$$f=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]$$易知$N=4$，其哈达玛变换核矩阵为：$$H_4=\left[\begin{array}{cc}{H}_2& H_2\\ H_2& -H_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$$$H_4$按列率排序后得到$$H_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right]$$由此按照哈达玛变换的计算公式可得$$F=\frac{1}{N^2}{H}_{4}f{H}_4=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

将沃尔什变换与哈达玛变换进行对比可以发现，两个变换的结果之间只是矩阵列的顺序不同，不会影响两者应用于压缩时的效率