2020年中国大学生数学建模竞赛备赛（五）

3.2 无约束问题的MATLAB解法

3.2.1 知识准备

1、Hessian阵、正定阵与负定阵

黑塞矩阵（Hessian矩阵）：是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

正定矩阵：
（1）广义定义：设$M$是$n$阶方阵，如果对任何非零向量$z$，都有$z^{T}Mz$> 0，其中$z^T$ 表示$z$的转置，就称$M$为正定矩阵。
（2）狭义定义：一个$n$阶的实对称矩阵$M$是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量$z$，都有$z^{T}Mz>0$。其中$z^T$表示$z$的转置。
负定矩阵：
狭义定义：设$A$是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵$X$有$X^{T}AX<0$，就称A为负定矩阵。

2、黑塞矩阵用于判断极值点的性质

驻点：多元函数偏导数为零的点。
如果在驻点处黑塞矩阵为正定阵，则在该点取极小值；如果在驻点处黑塞矩阵为负定阵，则在该点处取极大值；如果在驻点处黑塞矩阵为不定阵，则该驻点不是极值点。

3、MATLAB中的subs函数

MATLAB中$subs()$是符号计算函数,表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量,常用调用方式为: $subs(S,OLD,NEW)$表示将符号表达式$S$中的符号变量$OLD$替换为新的值$NEW$。

4、MATLAB中的符号计算

MATLAB最强大的莫过于它的数值计算功能，但是它的符号计算功能也不能被忽视。值得玩味的是，符号计算对于初学MATLAB编程的人来说，反而更易于从数学的角度进行理解。或者形象地说，符号计算就是让MATLAB像人一样做数学题，其结果形式也是我们平时用笔和演草纸做数学题时写的结果。

3.2.2 无约束极值问题的符号法求解

clc,clear
syms x y//定义符号变量
f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;
df=jacobian(f);//求一阶偏导数
d2f=jacobian(df);//求黑塞矩阵
[xx,yy]=solve(df);//求驻点
xx=double(xx);yy=double(yy);//转化成双精度浮点型数据，下面判断特征值的正负，必须是数值型数据
for i=1:length(xx)
     a=subs(d2f,{x,y},{xx(i),yy(i)});
     b=eig(a);//求矩阵的特征值
     f=subs(f,{x,y},{xx(i),yy(i)});
     if all(b>0)
        fprintf('(%f,%f)是极小值点，对应的极小值为%f\n',xx(i),yy(i),f);
     elseif all(b<0)
        fprintf('(%f,%f)是极大值点，对应的极大值为%f\n',xx(i),yy(i),f);
     elseif any(b>0)&any(b<0)
        fprintf('(%f,%f)不是极值点\n',xx(i),yy(i));
     else
        fprintf('无法判断(%f,%f)是否是极值点\n',xx(i),yy(i));
     end
end

3.2.3 无约束问题的数值解

[x,fval]=fminunc(fun,x0,options);

其中，$fun$是一个.m文件定义的函数（或者是一个匿名函数），当$fun$只有一个返回值时，它的返回值是函数$f(x)$；当$fun$有两个返回值时，第二个返回值是第一个返回值的梯度向量；当$fun$有三个返回值时，它的第三个返回值是第一个返回值的黑塞矩阵。

[x,fval]=fminsearch(fun,x0,options);

具体用法与上面相同。
例题：

//在求解极小值时，可以使用函数的梯度
function [f,g]=fun3(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];//是原函数的梯度向量
end
options=optimset('GradObj','on');
[x,y]=fminunc('fun3',rand(1,2),options);
//也可以利用函数的二阶导数
function [f,df,d2f]=fun4(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
df=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];//是原函数的梯度向量
d2f=[-400*x(2)+1200*x(1)^2+2,-400*x(1);-400*x(1),200];
end
options=optimset('GradObj','on','Hessian','on);
[x,y]=fminunc('fun4',rand(1,2),options);
//一般来说，提供的信息量越大，计算越快，精度越高。
//上面的一二阶导数，都可以先用符号法计算得到

//匿名函数用法，这样就不用新建一个函数文件，但这样给默认函数能够提供的信息也相应的减少
f=@(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

3.2.3 函数零点和方程组的解

求解方程：

clc,clear
//第一种解法
xishu=[1,-1,2,-3];//系数从高次幂到低次幂排列
x0=roots(xishu);
//第二种解法
syms x
x0=solve(x^3-x^2+2*x-3);
x0=vpa(x0,6);//化成小数格式的数据
//第三种解法
y=@(x) x^3-x^2+2*x-3;
x=fsolve(y,rand);//只能求给定初始值附件的一个零点

求解方程组：

//符号法
syms x y
[x,y]=solve(x^2+y-6,y^2+x-6);
//数值解
f=@(x) [x(1)^2+x(2)-6;x(2)^2+x(1)-6];
xy=fsolve(f,rand(2,1));//只能求给定初始值附近的一组解

PS.optimset函数的用法可以参考MATLAB自带的帮助文档。

参考文献

[1]司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.