如何根据离散点自动绘制等值线(等高线)之 三角形法

自动绘制等值线的方法从技术方向上看可以分为两大类,插值和曲线拟合.其中曲线拟合总的来说效果不如插值算法经典和应用广泛,效果也较逊色.这里着重介绍插值算法.

其中插值算法中,按照方式不同分为离散点客观化和三角网方式.两者区别在于三角网计算主要在生成三角网过程,省去了插值到格点的过程.而客观分析过程则是将离散点分析到格点后再内插到细网格,然后大多利用追踪法生成等值线,也有在这里再使用曲线拟合.

1、三角形算法

a、首先生成delaunay三角形，这一点在我的帖子"delaunay triangulation之丰衣足食“内有源程序，大家可以参考。

b、随后需要在三角形的边上插补等值点。要确定某个三角形的边上是否有等值点，需要进行判断和处理。注意：如果某原始数据点和等值线值相同，将该点改变一个微量。如果一个三角形三顶点的值相同则各边无等值点。如果一个三角形的任意边两端点（A、B〕的Z值（Za、Zb）满足满足（Zd-Za）*（Zd-Zb）<0,其中Zd代表等值线的值，则该边必有等值点，其平面位置是Xd=Xa+(Xb-Xa)*(Zd-Za)/(Zd-Za) ,  Yd=Ya+(Yb-Ya)*(Zd-Za)/(Zb-Za)。每个三角形上不可能三边都有同值的等值点，另一边上必定有同值的等值点。

c、等值点的追踪。

为了能将内插的等值点顺序追踪排列，绘出等值线，还必须找出相互重叠的环形网内所计算的等值点间的平面位置关系。因每个环形网都是由多个三角形组成的，我们先简单分析一下单个三角形中存在等值点的情况。由于不必考虑等值线穿过端点，如果一个三角形的边上存在等值点的话，只可能在某两条边上存在等值点，而不可能三条边上同时都有。也就是说，只要三角形一边上存在等值点，则其余的两条边中必有一边存在等值点。
　　根据上面的约定，我们再研究等值线穿过任一环形网中两条及两条以上相邻的径边时，可能出现的几种情形：
　　① 等值线不通过环形网的界边。在这个环形网中，必然所有的径边上都存在等值点，如果这个环形网由非边界点联结而成，内插的等值点就可顺序连接为一条闭合曲线(图5(a))；若此环形网由边界点联成，那么这些等值点则连成一条开口曲线(图5(b))。
　　② 等值线通过环形网的界边，且次数不超过两次。这是最常见的一种情形，如图5(c)、5(d)所示。相邻径边上内插的等值点顺序排列，点数至少为两个，其起点为环形网的入口点，终点为环形网的出口点。
　　③ 等值线四次通过环形网的界边。环形网中内插的等值点分为两部分顺序排列，每个部分都包括一个入口点和一个出口点，这个网所在的位置应该是地形的鞍部

由于离散点环形联网是沿同一方向(逆时针)进行的，环形网中相邻径边上内插的等值点所排列的顺序，也相应围绕中心点位逆时针旋转。从对图形的分析中，我们还注意到，如果等值点不是位于边界上的话，那么一个环形网的入口点，必然是另一个环形网的入口点；一个环形网的出口点，也必然是另一个环形网的出口点；而内插入口点(或出口点)的径边的两个端点，就是联结这两个环形网的中心点。利用这个原理，我们就可以成功地设计出等值线的追踪方案，且在追踪等值线时，只需将各环形网中内插的等值点进行单向比较，即入口点对入口点比较，出口点对出口点比较。　　联网结束后，凡是没能联成闭合环形网的离散点，即为绘图区域的边界点，而在两个边界点连接的边上内插的等值点，就是开曲线的线头。找到线头后，根据上述原理，就可顺序追踪出各条开曲线的全部等值点。对于闭曲线来说，任一环形网中内插等值点中的起点都可作为线头，按上述方法追踪，直至又回到该点为止。等值线追踪完成后，即可进行曲线的光滑输出。目前，常用的是样条插值。这方面的例子很多，不再详述。