AcWing 240 食物链

题目描述：

动物王国中有三类动物A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

A吃B， B吃C，C吃A。

现有N个动物，以1－N编号。

每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是”1 X Y”，表示X和Y是同类。

第二种说法是”2 X Y”，表示X吃Y。

此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话；
3） 当前的话表示X吃X，就是假话。

你的任务是根据给定的N和K句话，输出假话的总数。

输入格式

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。

以下K行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中D表示说法的种类。

若D=1，则表示X和Y是同类。

若D=2，则表示X吃Y。

输出格式

只有一个整数，表示假话的数目。

数据范围

1≤N≤50000,
0≤K≤100000

输入样例：

100 7
1 101 1 
2 1 2
2 2 3 
2 3 3 
1 1 3 
2 3 1 
1 5 5

输出样例：

3

分析：

本题考察并查集扩展域，用于维护集合间传递性关系。为了维持不同节点间的关系，我们需要对并查集的边加上权重，通过边权的比较得出节点间的关系，或者说，通过节点到根节点之间的距离来确定关系。在分析本题前，先介绍下扩展域的查找操作。

我们知道，一般并查集的查找操作是：

int find(int x){
    if(x != fa[x])   fa[x] = find(fa[x]);
    return fa[x];
}

在查找根节点的同时将沿途遇见所有的节点的父节点都设为根节点，实现路径压缩。而带扩展域并查集查找根节点的操作是：

int find(int x){
    if(x != fa[x]){
        int t = find(fa[x]);
        d[x] += d[fa[x]];
        fa[x] = t;
    }   
    return fa[x];
}

一共做了三步操作，存下并查集的根节点，将节点x到父节点的权重加上其父节点到其父节点的权重，由于是递归实现的，例如根节点为1，1->2为1，2->3为2，3->4为3，开始执行的是d[3] = d[3] + d[2] = 3,之后d[4] = d[4] + d[3] = 6。这样一来，查找的同时就将沿途所有节点到根节点的距离都更新成功了，并且最后一步同样的将各个节点的父节点都直接指向根节点，再次实现了路径压缩。

对于本题，我们可以将这三类动物都维持到一棵树里，a吃b，b吃c，c吃a，是一个三角形，由于有三条边，我们可以通过改变各个节点到根节点的距离来实现关系的判断。比如d[a] = 0,d[b] =2,d[c] = 1,当（d[x]-d[y]） % 3=1，表示x被y吃，当x和y是同类时(d[x] - d[y])%3 = 0,如此便可维护处本题的传递性关系。

对于某句话x和y是同类，首先find下x，y的根节点u和v，当u=v时表示已经加入到一棵树里了，然后判断下（d[x]-d[y]） % 3是否为0，不为0说明不是同类，是假话。当u != v时说明二者还未构建关系，我们需要构建a和b的同类关系，首先加u集合加入到v集合，即fa[u] = v;然后我们知道d[a]是a到原根节点u的距离，d[b]是b到v的距离，我们需要想办法更新下u到v的距离来实现d[a] - d[b]是3的倍数。a到v的距离为d[a] + d[u],更新后ab的距离为(d[a] + d[u] - d[b])，要想其mod 3 = 0，只需要d[u] = d[b] - d[a]即可。也就是说，我们将u加入到v的时候，更新d[u] = d[b] - d[a]就间接的构建了a和b的同类关系。

对于某句话x吃y，同样先判断u是否等于v，如果相等说明加入到一棵树里了，再判断下（d[a] - d[b] - 1)%3是否为0，不为0就是假话。如果u != v.和上面一样，先将u加入到v集合里，要想(d[a] + d[u] - d[b] - 1) % 3 == 0(维持a吃b的关系)，只需要更新d[u] = d[b] - d[a] + 1即可。

总的代码如下：

#include 
using namespace std;
const int maxn = 50005;
int fa[maxn],d[maxn],m,n;
int find(int x){
    if(x != fa[x]){
        int t = find(fa[x]);
        d[x] += d[fa[x]];
        fa[x] = t;
    }   
    return fa[x];
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i++)   fa[i] = i;
    int op,a,b,res = 0;
    while(m--){
        cin>>op>>a>>b;
        if(a > n || b > n){
            res++;
            continue;
        } 
        int u = find(a),v = find(b);
        if(op == 1){
            if(u == v && (d[a] - d[b]) % 3)  res++;
            else if(u != v){
                fa[u] = v;
                d[u] = d[b] - d[a];
            }
        }  
        else{
            if(u == v && (d[a] - d[b] - 1) % 3) res++;
            else if(u != v){
                fa[u] = v;
                d[u] = d[b] - d[a] + 1;
            }
        }
    }
    cout<