【2018 BSUIR Final C】Partial Sums 题解
题目大意
给定一个 n × m n \times m n×m 的 01 矩阵 A 0 A_0 A0。定义一次操作为将这个矩形每个元素求异或前缀和，即 A k [ i , j ] = ( ∑ u = 1 i ∑ v = 1 j A k − 1 [ u , v ] ) m o d 2 A_k[i,j]=(\sum_{u=1}^i\sum_{v=1}^j A_{k-1}[u,v]) \bmod 2 Ak[i,j]=(∑u=1i∑v=1jAk−1[u,v])mod2。
求一个最小的正整数 k k k，使得 A 0 = A k A_0=A_k A0=Ak。
n × m ≤ 1 0 6 n\times m \leq 10^6 n×m≤106
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题解
首先，可以发现答案一定是 2 2 2 的幂。
可以这么说明这个结论，设 k i , j k_{i,j} ki,j 表示左上角为 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 右下角为 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的子矩形的答案，那么 k i , j k_{i,j} ki,j 至少为 l c m ( k i − 1 , j , k i , j − 1 ) lcm(k_{i-1,j},k_{i,j-1}) lcm(ki−1,j,ki,j−1)，如果这 l c m lcm lcm 轮过后 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的元素没变，那么 k i , j k_{i,j} ki,j 就等于这个，否则还要再来 l c m lcm lcm 轮把它变回来，即 k i , j = l c m ⋅ 2 k_{i,j}=lcm \cdot 2 ki,j=lcm⋅2。而又因为 k 1 , 1 = 1 k_{1,1}=1 k1,1=1，因此可以归纳证明任意 k i , j k_{i,j} ki,j 一定是 2 2 2 的幂。
然后想一个问题，如果经过 k k k 轮操作，那么一个格子 ( x , y ) (x,y) (x,y) 对其右下的一个格子 ( x + Δ x , y + Δ y ) (x+\Delta x,y+\Delta y) (x+Δx,y+Δy) 的贡献是多少？
这等价于一个棋子从 ( x , y ) (x,y) (x,y) 开始，每次跳到其右下方的一个位置（包括自己本身），跳 k k k 步跳到 ( x + Δ x , y + Δ y ) (x+\Delta x,y+\Delta y) (x+Δx,y+Δy)，的方案数是多少。
这显然是 ( Δ x + k − 1 k − 1 ) ⋅ ( Δ y + k − 1 k − 1 ) \binom{\Delta x+k-1}{k-1} \cdot \binom{\Delta y+k-1}{k-1} (k−1Δx+k−1)⋅(k−1Δy+k−1)。
而根据 Lucas 定理，当 k k k 为 2 2 2 的幂时，只有当 Δ x \Delta x Δx 和 Δ y \Delta y Δy 都是 k k k 的倍数的时候，这个式子才 m o d 2 = 1 \bmod~2=1 mod 2=1。
于是我们就可以 k = 1 , 2 , 4 , 8 , ⋯ k=1,2,4,8,\cdots k=1,2,4,8,⋯ 这样枚举答案，每次枚举中，每个位置只考虑 Δ x \Delta x Δx 和 Δ y \Delta y Δy 是 k k k 倍数的位置的贡献，可以 O ( n m ) O(nm) O(nm) 得出最终矩阵并判断。（看代码）
同时这样也说明答案不会很大，最多判断 log n m \log nm lognm 次。
代码
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