【Pre-Finals 2016, Kent Nikaido Contest A】Tetris Puzzle 题解

题目大意

  你有无限个这种 S 型的牌（一开始都如左上角那样放置），每次你可以选择一张牌，将其 Rotate，或将其 Flip，或将其放入一个 $N\times N$ 的棋盘。棋盘上不能有牌重叠，被操作过的牌最后都必须放入棋盘。

  你有一个计数器，每当执行 Rotate 或 Flip 操作的时候，计数器会加 $1$。
  现在给你最终的棋盘状态（01 矩阵，表示每个格子有没有被覆盖），求计数器的奇偶性。（保证奇偶性唯一）

  $N\le 50$

这可真是个有趣的问题

题解

  为什么奇偶性会唯一呢？到底是什么特征决定了它的唯一性呢？

  聪明的 Zayin 想到了斜着看，发现按副对角线的方向来看，贡献为 0 的图形相当于是一个 $(2,2)$ 的覆盖，贡献为 1 的图形相当于是一个 $(1,1,1,1)$ 的覆盖。

  于是就有很多办法了。比如先统计出每条对角线的奇偶性，因为 $(2,2)$ 是对奇偶性没有影响的，所以直接拿 $(1,1,1,1)$ 去覆盖这个数组，就知道了有多少 $(1,1,1,1)$。
  也可以像题解那样，直接统计下标 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=0$ 的对角线的和的奇偶性就是答案。