用户多天线MIMO智能反射面系统的信道估计：平行因子分解与Khatri-Rao积

前言

最近在看许多智能反射面相关的文章。 由于有了智能反射面的存在，在数学模型上与传统信道估计有所出入。 接触到几篇文章，从多维张量 (tensor) 的角度出发， 利用Khatri-Rao积的表示方式， 将复杂的数学建模式子简化后，使用平行因子分解来求解信道， 这种做法给了我很大的启发。

原论文名：《PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System》
arxiv上有贴，这里就不给传送门了，搜索下就行。

系统模型

智能反射面估计的核心问题就在于估计BS-IRS 及 IRS-UE信道。 而BS-UE信道可以通过传统方法求解， 不在本文重点。 因此，考虑上图中展示的系统模型。 以下是符号说明：

• H： BS-IRS 信道
• G: IRS-UE 信道
• N： 智能反射面阵子数
• M： 基站天线数
• L： 用户天线数

信道估计的具体流程如下图：

这里解释一下：
首先将总的训练序列分为 $K$ 个块（block）， 每个块再各有 $T$ 个时隙来发送pilots。 约定，每个块使用不同的智能反射面反射因子，每个块内的 $T$个时隙则是经过相同的智能反射面阵子， 只是重复实验减少噪声误差。 需要注意， 这个方法可以MUSIC算法， 每次使用的不同的智能反射面因子可以看做是不同的观测矩阵。

数学建模

基于上述模型， 可以建模。 首先对第 $k$ 个块中的第 $t$ 个时隙的接收信号进行建模。

上式中， $s[k]\in {\mathcal{C}}^{1\times N}$ 代表了智能反射面反射因子， $x[t]\in {\mathcal{C}}^{M\times 1}$代表了经过波束成形后的基站发送信号。 上式是最基本的智能反射面接收信号建模， 理解有障碍的可以看下之前的博文或者看一些基础的智能反射面综述。

接下来， 在 第$k$个块内，会重复发送 $T$ 个时隙的pilots， 将其按矩阵形式写出， 如下：

其中， ${\mathbf{D}}_k(\mathbf{S})$等价于上面的$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(s)$。

这个表达式也没有问题，传统的信道估计也是如此，会重复多次发pilots， 建模时也会这样，相当于把接收信道的列进行$T$次扩展。智能反射面和普通MIMO系统的最大建模区别就在于， 在信道估计中我们会改变$S$， 即智能反射面的反射系数， 由于$S$是在三元乘法的最中间，无法简单的和传统MIMO一样直接络起来写成大矩阵形式。

因此，作者使用了一种多维张量的方法。 即可以把 $K$ 个块， 每个块$T$个时隙， 所有的接收信号，一起 写作一个 $L\times T\times K$ 的三维张量。

作者首先对第$k$个块的接收信号进行如下改写（可以看做这个三维向量的第 $k$ 个切片）：

这个式子的核心是进行变量代换， 引入了 $Z$。 这一步的目的是为了后面的平行因子分解做铺垫。

这样写了之后， 这个三维向量的元素，可以表示为：

注意， 只要满足上面这个式子， 就可以用平行因子分解得到如下等式。

这里的 $Y_1,Y_2,Y_3$代表了张量的model-1, model-2, model-3分解， 简而言之，就是将一个三维张量络成二维矩阵。这里我推荐大家看张贤达老师的《矩阵分析与应用》第二版， 在第十章有对三维张量的分解非常深入的叙述。

哦，忘了说了， 上面的菱形符号代表的就是 Khatri-Rao积。 同样是这本 《矩阵分析与应用》中， 有叙述：

简而言之， 就是相当于列与列之间各自进行克罗内克积。 我推导后发现， 这个运算非常契合智能反射面的数学模型推导。

当看完这两部分知识后，应该就很容易推导出上面的三个式子了。 那么， 可以使用交替最小化的方法，求解我们想估计的信道， 即 $G$ 和 $H$。

该推导就是基于model-1和model-2的张量分解， 考虑噪声影响，将其写为最小二乘形式。 然后，通过求导可以得到最小二乘解如上。 进行迭代求解，可以逐步提升准确度。

具体算法如上。

总结

这篇文章不一样的是，他考虑了用户端多天线的情形。 许多文章考虑的是单天线，那么IRS-UE只是一个向量，可以通过简单的线性代数把接收信号的式子简化，而当多天线时，信道变成一个矩阵，就会困难许多。 这篇文章通过一些变换，将模型套到了经典的平行因子分解问题上进行了求解。