【每日一题】和为k的连续子数组——前缀和与滑窗

2020/05/15 每日一题
对于要求连续子数组的题目，灵活使用前缀和和滑窗的方法。特点在于，前缀和是否递增。

560.和为k的子数组

题目需要注意几个关键点，数组元素是既有正数又有负数的，且要求是连续的子数组。
数组元素既有正数又有负数隐含了意思，数组不是单调的。因此不适合用滑动窗口的方法。**滑窗特点是，固定了左边界以后，右边界找到了一个可行解以后，右边界再靠右边的更大的区间肯定不存在目标值，所以才将左边界继续向右滑。**在这道题里显然没有这个性质。

其次，这里的连续子数组的限制给了我们采用前缀和的空间。我们保存前缀和进行比较即可。
要求presum[i]-k = presum[j]也就是存在[j+1,i]这个子区间的和为k。

class Solution:
    def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        ## 看到数组中有连续子数组，因此考虑前缀和的思路
        dic = collections.defaultdict(int)
        dic[0] = 1
        sum_ = 0
        ans = 0
        for num in nums:
            sum_ += num
            if sum_ - k in dic:
                ans += dic[sum_-k]
            # 这里需要注意，先判断再存入当前的数值。否则可能出现问题
            dic[sum_] += 1
        return ans

974 和可被K整除的子数组

和上面题目很相似的题目，但是特点在于上一题是查找到特定的数值即可。这道题目的要求是得到被K整除。因此我们虽然采用前缀和的思路，但是记录的并不是前缀和，而是前缀和对k取余的结果。

注意负数的同余，-2%6 = 4，这里不需要额外的处理。

class Solution:
    def subarraysDivByK(self, A: List[int], K: int) -> int:
        # dic存储被5除完的余数
        dic = collections.defaultdict(int)
        dic[0] = 1
        ans = 0
        cur = 0
        for num in A:
            cur += num
            if cur % K in dic:
                ans += dic[cur % K]
            dic[cur%K] += 1
        return ans

乘积小于K的子数组

这道题目就存在显著的不同了，首先要求的了是正整数，也就是实现了前缀和是单调的。但是要求查找的难度变大了，需要找出小于某一数值的前缀和，所以再采用前缀和的思路就复杂度增加了，每次需要遍历所有的前缀和，才能找全符合小于的数字。

但是我们知道了单调的特性，就可以采用滑动窗口的方法，固定左侧，每次向右侧扩张。如果超过了，就移动左侧边界。

两个细节：

1. 如何统计合理解？采用right-left+1，也就是固定了右侧时，我们可以移动左侧界，得到的全都是合理解。
2. 移动左侧边界的方法。我们需要每次移动左侧边界最多移动到大于右侧一个，这样可以帮助右侧处理掉某一个元素自身就大于bar的情况。

class Solution:
    def numSubarrayProductLessThanK(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        # 对于这种单调增的序列，可以采用滑动窗口的方法
        n = len(nums)
        right = 0
        left = 0
        cur = 1
        ans = 0
        for right, num in enumerate(nums):
            cur *= num
            while cur>=k and left<=right:
                cur /= nums[left]
                left += 1
            ans += right-left+1 
        return ans