解读Logistic回归模型

一、logistic回归的由来

logistic回归在百度百科是这样定义的：

        logistic回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。

        由此可见 logistic回归是从线性回归模型推广而来的，线性回归模型如下：

  -----------线性方程形式

    ----------------向量形式

        h(x)输出为连续的值，但是实际中会有"输出为离散型变量"这样的需求，例如：给定特征预测一次金融交易是否是欺诈(1表示是, 0表示不是)，显然不能直接使用线性回归模型（上面的线性回归方程自变量的取值范围是-∞到+∞，右侧表达式的的值的范围也是-∞到+∞），而这时逻辑回归就派上用场了。

二、Logistic回归模型建立

        离散型变量涉及的问题通常称之为 分类问题，在分类问题中，尝试预测的是结果是否属于某一个类，下面我们从0-1二元分类问题开始理解。

        现假设因变量y取值为0和1，在自变量x的条件下因变量y=1的概率为p，记作p=P(y=1|x)，那么y=0的概率就为1-p（因变量取1和取0的概率比值p/(1-p)   称为优势比），由 P(y=1|x) 推导 Sigmoid函数，推导过程如下：

Sigmoid函数公式：         ----------------------- (1)

Sigmoid函数图形：（上下阈值无限逼近 1 和 0）

Logistic回归可理解为是在线性回归的基础上加一个Sigmoid函数对线性回归的结果进行压缩，令其最终预测值y在一个范围内（0到1之间），或者说是在用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率。

上述由 P(y=1|x) 推导 Sigmoid函数的过程中，设置了：

这里，需要一个引经据典，才能进行下一步推导：

1730 年，法国数学家棣莫弗（1677年-1754年）出版的著作《分析杂论》中包含了著名的棣莫弗─拉普拉斯定理。他使用正态分布取估计n（很大）时抛掷硬币出现正面次数的分布，即二项分布B(n，0.5)。这就是概率论中第二个基本极限定理的雏形。将近80年后，拉普拉斯（1749年-1827年）在 1812 年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。他指出当n很大时，二项分布B(n，p)(0。所以后人称之为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

所以，我们假设 类条件概率密度 服从正态分布。

高中的时候我们便学过一维正态分布的公式为：

拓展到多维时，就变成：

     --------------------------  (2)

其中， 表示维度为 D 的向量， 则是这些向量的平均值，Σ 表示所有向量  的协方差矩阵。

(2)式写成概率的形式：

    

下面开始下一步推导：

由此得到    

那么  ， 什么时候不需要考虑偏置项b？

当和吸收入向量形式 ，此时就不用单独考虑了。

因此令  ，则 

即：   ----------------------- (3)

综合上述 （1）式 和 （3）式，得到Logistic回归模型：

完毕。