曲率(Curvature)学习

    几何体的曲率对于不同的对象定义不同。
    曲率反映了几何体的弯曲程度，曲率的倒数为所在圆弧的曲率半径的大小，二维平面空间中平面曲线的曲率是指曲线上一点处的切线方向角对弧长的转动率，可以通过微分来计算和定义，表明曲线偏离直线的程度大小.
    弯曲程度越小的曲线其曲率值越小，反之越大，由于直线不弯曲，所以直线的曲率值为0。
    下图为平面曲线的曲率示意图：
设二维空间中的平面曲线 C 是光滑的，M0 是基点，曲线上 M 对应于弧 S，
M1 对应于弧 S+ΔS，$\left|\stackrel{⌢}{M{M}_1}\right|=\left|△S\right|$ ，M 到 M1 的切线转角大小为$\left|△\alpha \right|$ ，则弧段
的平均曲线为：$$\overline{K}=\left|\frac{△\alpha }{△S}\right|$$
曲线C 在点 M 处的曲率为：$$K=\underset{△S\to 0}{\lim }\left|\frac{△\alpha }{△S}\right|$$

    在三维欧几里得空间中，曲率又可以分为主曲率、平均曲率和高斯曲率。
    主曲率是指过可微曲面上某一点存在无穷多个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极小，这个曲率的极小值为 Kmin，垂直于极小曲率面的曲率为极大值 Kmax。极小值为 Kmin 和极大值 Kmax 统称为主曲率，它们代表着法曲率的极值。
    平均曲率是指在空间曲面上某一点处任意两个互相垂直的正交曲率的平均值，它衡量了曲面在给定点处的平均弯曲程度。
    主曲率中的极小值为 Kmin 和极大值 Kmax 的乘积定义为高斯曲率，描述了曲面在某一点处总的弯曲程度。

    上图中的红色虚线代表了给定点的主曲率，并确定了主曲率所在的平面，弯曲程度最大的曲线对应的曲率值为主曲率中的极大值 Kmax，弯曲程度最小的曲线对应的曲率值为主曲率中的极小值为 Kmin。
    将图像进行任意角度的旋转，这2条虚线在该点的弯曲程度不变，即主曲率的值不变，证明了曲面上某点处的主曲率具有旋转不变性。
    而对图像进行尺度缩放时，在给定点处相切的圆弧所在的圆的半径会改变，由于曲率是曲率半径的倒数，所以主曲率的大小会随着图像的尺度而变化，因此曲面上给定点处的主曲率不具备尺度不变特性。

参考：《基于主曲率的图像纹理特征提取方法研究》(寇旗旗)