建堆的时间复杂度计算

现在常有两种建堆的方法，而这两种方法又有着不同的时间复杂度。下面分别陈述：

（1）自顶向下的建堆方式

这种建堆的方法具有O(n*log₂n)的时间复杂度。从根结点开始，然后一个一个的把结点插入堆中。当把一个新的结点插入堆中时，需要对结点进行调整，以保证插入结点后的堆依然是大根堆。如下图所示，是采用自顶向下的方法建立的大根堆。

其中h = log₂(n+1)-1，第k层结点个数为2^k个(当然最后一层结点个数可能小于2^h)。第k层的一个结点插入之后需要进行的比较(移动)次数为k。于是总的比较(移动)次数为∑k*2^k(k = 0,1,2,...,h)。可以求得∑k*2^k(k = 0,1,2,...,h)=(log₂(n+1)-2)*(n+1)+2 = O(n*log₂n)

（2）自下向上的建堆方式

这种建堆的方法具有O(n)的时间复杂度。如下图所示，从第一个非叶子结点开始进行判断该子树是否满足堆的性质。如果满足就继续判断下一个点。否则，如果子树里面某个子结点有最大元素，则交换他们，并依次递归判断其子树是否仍满足堆性质。

因为调整根结点以及其左右孩子的位置的复杂度是O(1),再加上对其子树的递归判断是否满足堆性质需O(h),而在任意高度h上，至多有[n/2^(h+1)]个结点。则总共的时间复杂度为∑h*(n)/(2^(h+1)).根据调和级数的积分公式可得，时间复杂度为O(n)。