动态规划——硬币找零问题（python）

如果对动态规划的原理不是很清晰，看这篇博客
动态规划(DP)的整理-Python描述
里面的列子很生动。

首先我们要知道为什么要使用dp，我们在选择dp算法的时候，往往是在决策问题上，而且是在如果不使用dp，直接暴力效率会很低的情况下选择使用dp.
什么时候会选择使用dp呢，一般情况下，我们能将问题抽象出来，并且问题满足无后效性，满足最优子结构，并且能明确的找出状态转移方程的话，dp无疑是很好的选择。
无后效性通俗的说就是只要我们得出了当前状态，而不用管这个状态怎么来的，也就是说之前的状态已经用不着了，如果我们抽象出的状态有后效性，很简单，我们只用把这个值加入到状态的表示中。
最优子结构：在决策问题中，如果，当前问题可以拆分为多个子问题，并且依赖于这些子问题，那么我们称为此问题符合子结构，而若当前状态可以由某个阶段的某个或某些状态直接得到，那么就符合最优子结构。
状态转移：这个概念比较简单，在抽象出上述两点的的状态表示后，每种状态之间转移时值或者参数的变化。

列子：
如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)
思考：
1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的， 本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。
于是我们已经得到了d(0)=0， 表示凑够0元最小需要0个硬币。
当i=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的， 即d(0)=0。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。
当i=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币， 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也已经知道了。 所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。
当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的( 5元的仍然没用，因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。
如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了： 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币， 我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？ 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以， 选择d(3)=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：
d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

没错， 它就是状态转移方程，描述状态之间是如何转移的。当然，我们要对它抽象一下，
d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;

理论上d(i)有11*3个值，如下

'''
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0
1   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3   0 0 0 1 2 3 2 3 4 3 4  5
5   0 0 0 0 0 1 2 3 2 3 2  3
'''

Min=[x for x in range(12)]
VN=[1,3,5]  #硬币面值
for i in range(1,12,1):
    for j in range(3):
        if VN[j]<=i and Min[i-VN[j]]+1

DP动态规划（Python实现）