(NYoj 61) 传纸条（1） 动态规划，双向dp

传纸条（一）
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难度：5
描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入
第一行输入N(0< N< 100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出
每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入
1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34

分析：
题目要求从1,1到m,n两条不向交的路径的权值和最大值。我们可以把问题转化为有两个人同时从1,1向m,n走，两人不相交。由于两人可以走所有的格子，所以我们分别用x1,y1,x2,y2来表示某一时刻两人的位置。所以我们要用一个4维的数组来表示出所有的状态。
那么状态是怎么样转移的呢？

如图所示：由于只能向下或者向右走，所以（x1，y1）,(x2,y2)分别可以由图中黄色部分走一步得到。从上一步到这一步总共有4种情况。所以状态转移方为：(a[][]存权值）
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1][y1-1],x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2-1][y2])+a[x1][y1]+a[x2][y2];

时间复杂度为O(n^4)；
优化：
我们令k表示走过的步数，所以有x1+y1=k,x2+y2=k(初始时k=1+1);知道了k,x1,x2,那么我们就可以知道y1,y2了。所以状态可以降低为3维，状态转移方程：
dp[k][x1][x2]=max(dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+a[x1][k-x1]+a[x2][k-x2];

注意：在实现的过程中,当x1==x2时说明两个人相交了，要排除。所以我们的结束状态并不是两个人都到达了（m,n）而是在（m,n）的左边和上上面。k的范围为2~n+m-1,最终结束时为：dp[n+m-1][m][m-1];

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int const N = 55;
int a[N][N];
int dp[2*N][N][N];
int m,n;

int max_4(int a,int b,int c,int d)
{
    return max(max(a,b),max(c,d));
}

int max_path()
{
    for(int k=2;k<=n+m-1;k++)//开始时x1+y1=2 ,结束时x1+y1=n+m-1;
    {
        for(int x1=1;x1<=m;x1++)
        {
            for(int x2=1;x2<=m;x2++)
            {
                if(x1==x2) continue;//注意
                dp[k][x1][x2]=max_4(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2-1])+a[x1][k-x1]+a[x2][k-x2];
            }
        }
    }
    return dp[m+n-1][m][m-1];
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&m,&n);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",max_path());
    }
    return 0;
}