贝叶斯定理之过程推导

介绍贝叶斯定理之前，需要先介绍一下条件概率：假设有随机事件A和B，P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率，下面是简单的理解和推导过程：

如上图，蓝色区域表示事件A，橙色区域表示事件B，两个圆的交集表示事件A和事件B同时发生。我们再来看看P(A|B)，其对应的样本空间为事件B发生的概率P(B)，即图中的橙色部分；对应的事件为P(A∩B)，即图中两圆相交的区域，因此，有 P(A|B)=P(A⋂B)P(B) P ( A | B ) = P ( A ⋂ B ) P ( B ) ，即为条件概率的公式。

接下来就是贝叶斯定理：
还是一样，有这样一个例子：
有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品合格率为90%，乙生产线的产品合格率为95%，两条生产线的生产量占比分别为30%和70%，现在发现了一件不合格品，判断这个不合格品是甲生产线生产出来的概率？
假设现在生产出来的产品总量为1000个，如图中所示，甲乙生产线的产量分别是300和700个，则不合格品分别为30和35个

不合格品总数 =甲不合格数量 +乙不合格数量 =总产量 甲产量占比 甲不合格率 +总产量 乙产量占比 乙不合格率 =总产量 *P(甲) *P(不合格|甲) +总产量 *P(乙) *P(不合格|乙)；
P(甲|不合格) =甲不合格数量/不合格品总数 =总产量 *P(甲) *P(不合格|甲)/(总产量 *P(甲) *P(不合格|甲) +总产量 *P(乙) *P(不合格|乙)) =P(甲) *P(不合格|甲)/(P(甲) *P(不合格|甲) +P(乙) *P(不合格|乙))；
现在用A表示不合格品，B1，B2分别表示甲乙两条生产线，上市可表示为：

P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) P ( B 1 | A ) = P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A | B 2 )

更一般的，假设有n条生产线，分别用 Bi B i 表示，i = 1,2,3…n，公式可写成：

P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)∑nj=1P(Bj)P(A|Bj) P ( B i | A ) = P ( B i ) P ( A | B i ) ∑ j = 1 n P ( B j ) P ( A | B j )

这就是贝叶斯定理的一般形式。