Leetcode：357.计算各个位数不同数字的个数

给定一个非负整数 n，计算各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 ≤ x < 10n 。

示例:

输入: 2
输出: 91 
解释: 答案应为除去 11,22,33,44,55,66,77,88,99 外，在 [0,100) 区间内的所有数字。

解题思路：

排列组合问题。题目分析可知，n也就是数字的位数。首先分析一个n位数中不同数字的个数val[n]。

1. 除了n=1之外，首位数字不可能为0，否则该数实质上是一个n-1位数。如果n=1,直接返回10即可。n=0,直接返回1。
2. 当n>10时，必然有重复数字，因为阿拉伯数字也就10个。
3. val[n]=9*(9)*(9-1)*(9-2)*...*(9-(n-2))。高中排列组合的知识。
4. 没有必要对每一个val[n]都计算这个连乘式子，因为存在递推关系va[n]=val[n-1]*(9-(n-2))，算法可以优化到只算O(n)个乘法运算。
5. 最后扫描一趟，无需额外空间，即可算出前n个数的和，即为本题所需答案。

C++代码

class Solution { public:     int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {         if (n == 0) return 1;         if (n > 10) return countNumbersWithUniqueDigits(10);         vector dp(n + 1, 1);         dp[1] = 10;         if (n == 1) return dp[1];         int temp = 9, sgn = 9,i;         for (i = 2; i <= n; i++) {             dp[i] = temp*sgn;             temp = dp[i];             sgn--;         }         for (i = 2; i <= n; i++) {             dp[i] += dp[i - 1];         }         return dp.back();     } };