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实对称矩阵可对角化的证明

对于实对称矩阵 A A A，有 J = P − 1 A P J=P^{-1}AP J=P−1AP, J J J为 A A A的若当标准型。
而
J T = P T A P − T = P T P P − 1 A P P − 1 ( P − 1 ) T = ( P T P ) J ( P T P ) − 1 J^{T}=P^{T}AP^{-T}=P^TPP^{-1}APP^{-1}(P^{-1})^T=(P^TP)J(P^TP)^{-1} JT=PTAP−T=PTPP−1APP−1(P−1)T=(PTP)J(PTP)−1
所以 J J J相似于 J T J^T JT， J = J T J=J^T J=JT,所以 J J J为对角形。
即 A A A可对角化

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