如果没有事先给出一个个体域,都以全总个体域为个体域。于是,引入一个新的谓词 M ( x ) M(x) M(x):
在合式公式 ∀ x A \forall xA ∀xA和 ∃ x A \exists xA ∃xA中,
【举例】
∀ x ( R ( x , y , z ) ∧ ∀ y H ( x , y , z ) ) \forall x(R(x,y,z)\land \forall y H(x,y,z)) ∀x(R(x,y,z)∧∀yH(x,y,z))
将一个指导变项及其辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号.
如上述例子,利用换名规则得到
∀ x ( R ( x , y , z ) ∧ ∀ y H ( x , y , z ) ) \forall x(R(x,y,z)\land \forall y H(x,y,z)) ∀x(R(x,y,z)∧∀yH(x,y,z))
一个解释I由下面4部分组成:
¬ ∀ x A ( x ) ⇔ ∃ x ¬ A ( x ) \neg \forall xA(x) \Leftrightarrow\exists x\neg A(x) ¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
¬ ∃ x A ( x ) ⇔ ∀ x ¬ A ( x ) \neg \exists xA(x) \Leftrightarrow\forall x\neg A(x) ¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
∀ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∨ B \forall x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \lor B ∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
∀ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∧ B \forall x(A(x) \land B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \land B ∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
∃ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∨ B \exist x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \lor B ∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
∃ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∧ B \exist x(A(x) \land B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \land B ∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
∀ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∀ x A ( x ) → B \forall x(A(x) \to B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \to B ∀x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B
∀ x ( B → A ( x ) ) ⇔ B → ∀ x A ( x ) \forall x(B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \forall xA(x) ∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)
∃ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∃ x A ( x ) → B \exists x(A(x) \to B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \to B ∃x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B
∃ x ( B → A ( x ) ) ⇔ B → ∃ x A ( x ) \exists x(B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \exists xA(x) ∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)
∀ x ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∧ ∀ x B ( x ) \forall x(A(x) \land B(x)) \Leftrightarrow \forall xA(x) \land \forall xB(x) ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃ x ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∨ ∃ x B ( x ) \exists x(A(x) \lor B(x)) \Leftrightarrow \exists xA(x) \lor \exists xB(x) ∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
设A为一谓词公式,如果A具有如下的形式
Q 1 x 1 Q 2 x 2 . . . Q k x k B Q_1x_1Q_2x_2...Q_kx_k B Q1x1Q2x2...QkxkB
则称A为前束范式,其中每个 Q i Q_i Qi是全称量词或存在量词,B为不含量词的谓词公式.