离散数学复习--第二章：一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
如果没有事先给出一个个体域，都以全总个体域为个体域。于是，引入一个新的谓词 M ( x ) M(x) M(x)：
- 全称量词
∀ x ( M ( x ) → F ( x ) ) \forall x(M(x) \to F(x) ) ∀x(M(x)→F(x)) - 存在量词
∃ x ( M ( x ) ∧ F ( x ) ) \exists x(M(x) \land F(x) ) ∃x(M(x)∧F(x))
当个体域为有限集时， D = { a 1 , a 2 , . . . , a n } D=\{a_1,a_2,...,a_n\} D={ a1,a2,...,an}
∀ x A ( x ) ⇔ A ( a 1 ) ∧ A ( a 1 ) ∧ A ( a 2 ) . . . ∧ A ( a n ) \forall xA(x) \Leftrightarrow A(a1) \land A(a_1) \land A(a_2)...\land A(a_n) ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a1)∧A(a2)...∧A(an)
∃ A ( x ) ⇔ A ( a 1 ) ∨ A ( a 1 ) ∨ A ( a 2 ) . . . ∨ A ( a n ) \exists A(x) \Leftrightarrow A(a1) \lor A(a_1) \lor A(a_2)...\lor A(a_n) ∃A(x)⇔A(a1)∨A(a1)∨A(a2)...∨A(an)
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
在合式公式 ∀ x A \forall xA ∀xA和 ∃ x A \exists xA ∃xA中，
- x为指导变项
- A为相应量词的辖域
- 在辖域中，x的全部出现称为约束出现
- A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现
【举例】
∀ x ( R ( x , y , z ) ∧ ∀ y H ( x , y , z ) ) \forall x(R(x,y,z)\land \forall y H(x,y,z)) ∀x(R(x,y,z)∧∀yH(x,y,z))
- 在整个公式中，x是指导变项 ( R ( x , y , z ) ∧ ∀ y H ( x , y , z ) ) (R(x,y,z)\land \forall y H(x,y,z)) (R(x,y,z)∧∀yH(x,y,z))是第一个全称量词的辖域.
- 在 ∀ y H ( x , y , z ) \forall y H(x,y,z) ∀yH(x,y,z)中，y是指导变项， H ( x , y , z ) H(x,y,z) H(x,y,z)是第二个全称量词的辖域.
- x的两次出现都是约束出现
- y的第一次出现是自由出现，第二次出现是约束出现
- z的两次出现都是自由出现
换名规则
将一个指导变项及其辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号.
如上述例子，利用换名规则得到
∀ x ( R ( x , y , z ) ∧ ∀ y H ( x , y , z ) ) \forall x(R(x,y,z)\land \forall y H(x,y,z)) ∀x(R(x,y,z)∧∀yH(x,y,z))
解释
一个解释I由下面4部分组成：
- 非空个体域D
- 给论及的每一个个体常项 符号指定一个D中的元素
- 给论及的每一个函数变项 符号指定一个D中的函数
- 给论及的每一个谓词常项 符号指定一个D中的谓词
2.3 一阶逻辑等值式与前束范式
量词否定等值式
¬ ∀ x A ( x ) ⇔ ∃ x ¬ A ( x ) \neg \forall xA(x) \Leftrightarrow\exists x\neg A(x) ¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
¬ ∃ x A ( x ) ⇔ ∀ x ¬ A ( x ) \neg \exists xA(x) \Leftrightarrow\forall x\neg A(x) ¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
∀ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∨ B \forall x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \lor B ∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
∀ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∧ B \forall x(A(x) \land B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \land B ∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
∃ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∨ B \exist x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \lor B ∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
∃ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∧ B \exist x(A(x) \land B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \land B ∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
∀ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∀ x A ( x ) → B \forall x(A(x) \to B) \Leftrightarrow\forall xA(x) \to B ∀x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B
∀ x ( B → A ( x ) ) ⇔ B → ∀ x A ( x ) \forall x(B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \forall xA(x) ∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)
∃ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∃ x A ( x ) → B \exists x(A(x) \to B) \Leftrightarrow\exists xA(x) \to B ∃x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B
∃ x ( B → A ( x ) ) ⇔ B → ∃ x A ( x ) \exists x(B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \exists xA(x) ∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)
量词分配等值式
∀ x ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∧ ∀ x B ( x ) \forall x(A(x) \land B(x)) \Leftrightarrow \forall xA(x) \land \forall xB(x) ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃ x ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∨ ∃ x B ( x ) \exists x(A(x) \lor B(x)) \Leftrightarrow \exists xA(x) \lor \exists xB(x) ∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
- ∀ \forall ∀对 ∨ \lor ∨无分配律
- ∃ \exists ∃对 ∧ \land ∧ 无分配律
前束范式
设A为一谓词公式，如果A具有如下的形式
Q 1 x 1 Q 2 x 2 . . . Q k x k B Q_1x_1Q_2x_2...Q_kx_k B Q1x1Q2x2...QkxkB
则称A为前束范式，其中每个 Q i Q_i Qi是全称量词或存在量词，B为不含量词的谓词公式.