关于素数定理的证明

了解以下素数定理以及证明

一.质因数分解定理

反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。

首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质\数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。

因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设，

其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都都可以写成质数的乘积。

从而 也可以写成质数的乘积。

由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

一.两个相邻的数一定互质

反证法

设相邻两数为：a ,a+1

如果这两数不互质,

必有公约数m

设xm=a ,ym=a+1

有：ym-1=xm 即m(y-x)=1

因为m ,x ,y 都是都是非1正整数

正整数中只有1*1=1

所以m(y-x)不等于1.

证毕

所以a ,a+1这相邻两数必互质.

二.素数是无限的

设n1为素数

则n1与n1+1互质

n1与n1+1至少有两个互不相等的素因数---(1)

如何证明，反证法

外加上，素因数分解定理

n1可以分解成1*一个素数

n1若为素数，易证(1)

n1+1若为合数可以分解成若干个素数的乘积

n1和n1+1的如果有一个相等的素因数m，那么他们的最大公约数就是m

这与n1与n1+1互质（最大公约数是1），相矛盾

n1与n1+1至少有两个互不相等的素因数

 

设n2=n1*(n1+1)

则n2,与n2+1也至少有两个互不相等的素因数

 

n3=n2*(n2+1)

则n2,与n2+1也至少有两个互不相等的素因数

 

则对于nk也成立

所以素数是无限的

证毕