IOI2017 Day1 Toy Train 题解

传送门

题解

这题思维难度比较大^_

首先，对任意集合$S$，定义函数$f_A(S)$为不管B怎样A都能进入$S$的起点的集合，$f_B(S)$同理

设充电站集合为$R$，则如果起点在$f_A(R)$以外B必胜（即B一定有一种策略使得火车无法进入$R$）

如果$f_A(R)$为全集则A赢（不管怎样A总能使火车进入$R$）

如果$f_A(R)$不为全集，设$X$为$f_A(R)$的补集，则如果起点属于$X$则B必胜

如果起点属于$f_B(X)$中B一定可以进入$X$，所以B同样必胜

剩下的节点胜负未定，我们可以抠掉这些B胜的节点，继续判断$f_A(R)$是否为全集并重复上述过程，直到$f_A(R)$为全集为止，此时剩下的节点就是A必胜的起点

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现在问题就是快速求$f_A$，$f_B$（由于求$f_A$的过程和求$f_B$的过程相似，所以这里只讨论求$f_A$的方法）

由于$n\le 5000$，所以可以根据定义直接求$f_A$

首先$f_A(S)$至少是$S$

每次选一个点，它进入$f_A$的条件是：

• 它由A掌控，并且它至少有一条道路通向$S$
• 它由B掌控，并且它所有道路全部都通向$S$

具体实现时可以每次在$S$中取出一个尚未取出的节点，并更新每个点是否满足条件。

举个栗子

红色节点属于A，蓝色节点属于B，黄色标记代表这是一个充电车站

首先$R=\{2,9\}$

按照前面的方法求出$f_A(R)=\{2,3,4,5,9\}$

则$X=not{f}_A(R)=\{1,6,7,8\}$

$f_B(X)=\{1,2,6,7,8\}$

把$\{1,2,6,7,8\}$抠掉，得到$\{3,4,5,9\}$

用类似的方法，得$R=\{9\}$，$f_A(R)=\{3,4,5,9\}$为全集

所以得到答案$w=\{0,0,1,1,1,0,0,0,1\}$

我在交的时候忘删了调试语句，结果调了好久…qwq

#include
using namespace std;
const int N=5005;
int n,m,q[N],h,t,vis[N];
vector<int> e[N],e2[N];
vector<int> f(int flag,vector<int> a,vector<int> r,vector<int> res){
     
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	vector<int> ans(n),deg(n);
	t=0,h=-1;
	for(int i=0;i<n;i++)if(r[i]&&res[i])q[++h]=i,ans[i]=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
     for(int j=0;j<(int)e[i].size();j++)if(res[e[i][j]]){
     if(a[i]^flag)deg[i]++;else deg[i]=1;}}
	while(t<=h){
     
		int v=q[t++];
		for(int i=0;i<(int)e2[v].size();i++){
     
			int u=e2[v][i];
			if(!ans[u]&&res[u]){
     deg[u]--;if(!deg[u])ans[q[++h]=u]=1;}
		}
	}
	return ans;
}
vector<int> who_wins(vector<int> a,vector<int> r,vector<int> u,vector<int> v){
     
	n=a.size(),m=u.size();
	while(m--)e[u[m]].push_back(v[m]),e2[v[m]].push_back(u[m]);
	vector<int> ans(n);
	for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=1;
	while(1){
     
		int flag=1;
		vector<int> res1=f(1,a,r,ans);
		for(int i=0;i<n;i++)if(ans[i]&&!res1[i])flag=0;
		if(flag)return ans;
		for(int i=0;i<n;i++)res1[i]^=1;
		vector<int> res2=f(0,a,res1,ans);
		for(int i=0;i<n;i++)if(res2[i])ans[i]=0;
	}
	return ans;
}