复变函数的积分

一、复变函数积分的概念

学习目标

• 会用参数法计算复积分
• 记住 ${\int }_{c}f(z)dz={\int }_c(u+iv)(dx+idy)={\int }_{c}udx-vdy+i{\int }_{c}vdx+udy$
• 记住 ${\oint }_{|z-z_0|=r}\frac{dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}=\{\begin{array}{ll}2\pi i& n=0\\ 0& n̸=0\end{array}$
  

1、参数法计算复积分

    例题1：计算 ${\int }_{c}zdz$ ,其中 $C$ 为从原点到点 $3+4i$ 的直线段.
$解$：
    直线的方程可写作$$x=3t，y=4t，0\le t\le 1$$或$$z=3t+i4t，0\le t\le 1$$在 $C$ 上，$z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt$. 于是$${\int }_{c}zdz={\int }_0^1(3+4i{)}^{2}tdt=(3+4i{)}^2{\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}(3+4i{)}^2.$$
    例题2：计算积分 ${\oint }_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz$ 的值，其中 $C$ 为 $|z|$ 的正向圆周
$解$：
    $z=r{e}^{i\theta }$ ，则 $\overline{z}=r{e}^{-i\theta }$ ，$dz=ir{e}^{i\theta }d\theta$
所以 ${\oint }_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz={\int }_0^{2\pi }\frac{r{e}^{-i\theta }}{r}\cdot ir{e}^{i\theta }d\theta =ir{\int }_0^{2\pi }d\theta =4\pi i$

二、柯西-古萨(C-G)基本定理

学习目标

• 记住柯西-古萨基本定理的内容，并会灵活运用
  
      柯西-古萨基本定理：如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $f(z)$ 沿 $B$ 内的任何一条封闭曲线 $C$ 的积分为零：$${\oint }_{c}f(z)dz=0$$

三、复数闭路定理

学习目标

• 记住复合闭路定理的内容(两种形式)，并会灵活运用(结合其他公式)
  
      定理：设 $C$ 为多个连通域 $D$ 内的一条简单闭曲线，$C_1,C_2,\cdot \cdot \cdot ，C_n$ 是在 $C$ 内部的简单闭曲线，它们互不包含也不互相交，并且以 $C_1,C_2,\cdot \cdot \cdot ，C_n$ 为边界的区域全含于 $D$. 如果 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，那么$${\oint }_{c}f(z)dz=\sum _{k=1}^n{\oint }_{c_k}f(z)dz$$其中 $C$ 即 $C_k$ 均取正方向;并且满足 $${\oint }_{\Gamma }f(z)dz=0$$这里的 $\Gamma$ 为由 $C$ 即 $C_k(k=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$ 所组成的复合闭路(其方向是: $C$按逆时针进行，$C_k^n$ 按顺时针进行)

四、原函数与不定积分

学习目标

• 知道什么条件下，积分值与起点和终点有关，与路径无关
• 会用复 $N-L$ 公式计算福鼎积分
  
      定理一:如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么积分 ${\int }_{c}f(z)dz$ 与连接起点和终点的路线 $C$ 无关.
  
  $PS$：单连通域是指：设 $D$ 是一区域，若属于 $D$ 内任一简单闭曲线的内部都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域.
  
      定理二：如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $F(z)$ 必为 $B$ 内的一个解析函数，并且 $F^{{}^{\prime }}(z)=f(z)$.
  
      定理三：如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，$G(z)$ 为 $f(z)$ 的一个原函数，那么$${\int }_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z_1)-G(z_0)$$这里 $z_0，z_1$为域 $B$ 内的两点.

五、柯西积分公式

学习目标

• 记住柯西积分公式的内容，并会灵活运用
  
      定理：如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 $D$ ，$z_0$ 为 $C$ 内的任一点，那么$${\oint }_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)$$

六、解析函数的高阶导数

学习目标

• 记住高阶导数公式的内容，并会灵活运用
  
      定理：解析函数 $f(z)$ 的导数仍为解析函数，它的 $n$ 阶导数为：$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_c\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{(n+1)}}dz(n=1,2,\cdot \cdot \cdot ）$$其中 $C$ 为在函数 $f(z)$ 的解析区域 $D$ 内围绕 $z_0$ 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于 $D$.
  也可以写成$${\oint }_c\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{(n+1)}}dz=\frac{2\pi i}{n!}{f}^{(n)}(z_0)(n=1,2,\cdot \cdot \cdot )$$

七、解析函数与调和函数的关系

学习目标

• 会判别一个函数是否为调和函数
• 知道共轭调和函数的定义
• 知道解析函数于调和函数的关系
• 给一个函数 $u(x,y)$ 或 $v(x,y)$, 求另一个函数 $v(x,y)$ 或 $u(x,y)$ 组成一个解析函数
  

1、解析函数与调和函数的关系

    如果二元实变函数 $\varphi (x,y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯$(Laplace)$方程$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=0$$那么称 $\varphi (x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数.
    定理：任何在区域 $D$ 内解析的函数，它的实部和虚部都是 $D$ 内的调和函数. 即：$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$
    在 $D$ 内满足柯西-黎曼方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$的两个调和函数，$v$ 称为 $u$ 的共轭调和函数. 因此，上面的定理说明：区域 $D$ 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

2、偏积分法求共轭调和函数

    $Test1$：证明 $u(x,y)=y^3-3x^{2}y$ 为调和函数，并求其共轭调和函数 $v(x,y)$ 和由它们构成的解析函数.
$解$：
    $1）$因为 $$\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy，\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-6y$$$$\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2-3x^2，\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=6y$$所以$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$这就证明了 $u(x,y)$ 为调和函数.
    $2）$由$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy$$得$$v=\int -6xydy=-3x{y}^2+g(x)，$$$$\frac{\partial v}{\partial x}=-3y^2+g^{{}^{\prime }}(x)$$由$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$，得$$-3y^2+g^{{}^{\prime }}(x)=-3y^2+3x^2$$故$$g(x)=\int 3x^{2}dx=x^3+C$$因此$$v(x,y)=x^3-3x{y}^2+C$$从而得到一个解析函数$$w=y^3-3x^{2}y+i(x^3-3x{y}^2+C)$$