poj2447

题意：两个素数P，Q。N=P*Q; T=(P-1)*(Q-1); (E*D)mod T = 1; (0<=D<T)。E与T互质，公钥是{E,N}，私钥是{D,N}。原始信息M的加密过程为C=(M^E)mod N; 解密过程为 M=(C^D)mod N;（"^"表示幂） 现在给出C,E,N（<2^62）。求M。

分析：先通过N分解求P,Q（pollard-rho+Miller-rabin）。通过P，Q求T，通过(E*D)mod T = 1求D(扩展欧几里德)，通过M=(C^D)mod N求M。

如何使用扩展欧几里德呢，

(E*D)mod T = 1 <=> (E*D) = 1 + k*T <=> E*(D*g) + T*[(-k)*g] = g（g是T和E的最大公约数gcd(T,E)）。

不过这道题好像不用这么麻烦，因为E和T互质，所以g=1。

这样就变成了a*x+b*y=gcd(a,b)的形式了。

pollard-rho和Miller-rabin算法参见poj1811解题报告 http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2011/09/01/2162049.html

扩展欧几里德算法参见poj1061解题报告 http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2013/07/19/3201618.html

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <ctime>

using namespace std;



typedef long long LL;

#define maxn 10000

const int S=20;



LL factor[maxn];

int tot;



LL muti_mod(LL a,LL b,LL c){    //返回(a*b) mod c,a,b,c<2^63

    a%=c;

    b%=c;

    LL ret=0;

    while (b){

        if (b&1){

            ret+=a;

            if (ret>=c) ret-=c;

        }

        a<<=1;

        if (a>=c) a-=c;

        b>>=1;

    }

    return ret;

}



LL pow_mod(LL x,LL n,LL mod){  //返回x^n mod c ,非递归版

    if (n==1) return x%mod;

    int bit[64],k=0;

    while (n){

        bit[k++]=n&1;

        n>>=1;

    }

    LL ret=1;

    for (k=k-1;k>=0;k--){

        ret=muti_mod(ret,ret,mod);

        if (bit[k]==1) ret=muti_mod(ret,x,mod);

    }

    return ret;

}



bool check(LL a,LL n,LL x,LL t){   //以a为基，n-1=x*2^t，检验n是不是合数

    LL ret=pow_mod(a,x,n),last=ret;

    for (int i=1;i<=t;i++){

        ret=muti_mod(ret,ret,n);

        if (ret==1&& last!=1&& last!=n-1) return 1;

        last=ret;

    }

    if (ret!=1) return 1;

    return 0;

}



bool Miller_Rabin(LL n){

    LL x=n-1,t=0;

    while ((x&1)==0) x>>=1,t++;

    bool flag=1;

    if (t>=1&& (x&1)==1){

        for (int k=0;k<S;k++){

            LL a=rand()%(n-1)+1;

            if (check(a,n,x,t)) {flag=1;break;}

            flag=0;

        }

    }

    if (!flag || n==2) return 0;

    return 1;

}



LL gcd(LL a,LL b){

    if (a==0) return 1;

    if (a<0) return gcd(-a,b);

    while (b){

        LL t=a%b; a=b; b=t;

    }

    return a;

}



LL Pollard_rho(LL x,LL c){

    LL i=1,x0=rand()%x,y=x0,k=2;

    while (1){

        i++;

        x0=(muti_mod(x0,x0,x)+c)%x;

        LL d=gcd(y-x0,x);

        if (d!=1&& d!=x){

            return d;

        }

        if (y==x0) return x;

        if (i==k){

            y=x0;

            k+=k;

        }

    }

}



void findfac(LL n){           //递归进行质因数分解N

    if (!Miller_Rabin(n)){

        factor[tot++] = n;

        return;

    }

    LL p=n;

    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand() % (n-1) +1);

    findfac(p);

    findfac(n/p);

}



void gcdExtend(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)

{

     if(!b) {d=a;x=1;y=0;return;}

     gcdExtend(b,a%b,d,y,x);

     y-=a/b*x;

}



int main()

{

    LL C, E, N, T, M, D;

    LL x, y, d;

    while (~scanf("%lld%lld%lld", &C, &E, &N))

    {

        tot = 0;

        findfac(N);

        T = (factor[0] - 1) * (factor[1] - 1);

        gcdExtend(E, T, d, x, y);

        D = (x % T + T) % T;

        M = pow_mod(C, D, N);

        printf("%lld\n", M);

    }

    return 0;

}

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