基本概念
Bloom filter是一个空间高效（space- efficient）概率算法，被用于测试一个元素是否存在于一个集合中。
存在假阳性（false positive，表示实际是假但误辨为真的情况）匹配的可能，但不存在假阴性（false negatives）的可能。也就是说，一次查询返回的结果是可能在集合里或者绝对不在集合里。
最常用的操作是校验元素是否存在于集合中，也可以添加元素，但不可以删除元素。
同时，越多元素被加入到集合中，假阳性的概率就会越高。
Bloom filter一般应用在内存有限的索引场景，在可容忍的低误判的情况下，以极低的存储代价，实现去除绝大部分不必要的查询的便利。 
定义
一个空的bloom filter是一个有 m 位的位数组，同时也定义 k 个哈希函数，每一个哈希函数映射元素到位数组的其中一个位。
添加：设置每一个哈希函数映射到的位为1。
查询：查询每一个哈希函数映射到的位是否都为1。只要有任意一个位不为1，则表明该元素绝对不存在。如果都为1，但也只能表明该元素可能存在（对于一般的bloom filter实现）。
删除：不支持。
补充：
要枚举所有在bloom filter中的元素是很困难的（譬如，需要许多的硬盘读取）
假阳性比例过高时，可以重新生成一个过滤器（以使得过滤器的假阳性低于某一个标准），只是这是一种相对非常少见的情况。
应用
- Google Bigtable、Apache Hbase、Apache Cassandra、PostgreSQL使用bloom filter来减少在磁盘上对不存在的行或列的查找。避免代价高昂的磁盘查询可以有效地提高数据库的查询性能。
- Google Chrome使用bloom filter来识别有害url。
- Microsoft Bing使用多层级的bloom filter来作为搜索的索引（BitFunnel，github上有对应的repo）。
- Bitcoin曾使用bloom filter来加速同步数字钱包。
- Medium使用bloom filter以避免对同一用户重复推荐相同的文章。
- Ethereum使用bloom filter在区块链上快速搜索logs。
概率分析
假阳性的概率（probability of false positive）
一个重要的前提条件，哈希函数映射到数组的每一个不同位置的概率是相等的，即简单均匀散列（simple uniform hashing）。
假设 m 为数组的位数，在对布隆过滤器插入一个元素时，某一位未被某一哈希函数（映射到）设置为1的概率是$1 - \frac{1}{m}$ 。
因为数组长度为m，任意某一位被任意某一哈希函数设置为1的概率是$\frac{1}{m}$ ，那么未被设置为1即可得。
假设 k 为哈希函数的数量，每一个都是互相独立的（任意一个哈希的结果不依赖于任意其他的哈希结果），那么数组中的某一位未被散列函数设置为1的概率是 $(1 - \frac{1}{m})^k$ 。
根据微积分的知识，我们知道一个特殊的极限（也是自然对数 e 的定义）
$lim_{x \to -\infty}{(1 - \frac{1}{m})^k} = \frac{1}{e}$
又因为
$(1-\frac{1}{m})^k = ((1-\frac{1}{m})^m)^\frac{k}{m} \approx e^{-\frac{k}{m}}$
所以我们可以得到，插入 n 个元素后，数组中任意某一位仍然为 0 的概率为
$(1-\frac{1}{m})^{kn} \approx e^{-\frac{kn}{m}}$
未被置1的概率为
$1 - (1-\frac{1}{m})^{kn} \approx 1 - e^{-\frac{kn}{m}}$
现在，如果需要检验一个实际上元素不在集合中，但 k 个哈希函数映射的位置却都置为了1的情况，也就是假阳性的情况的概率：
$(1 - [1-\frac{1}{m}]^{kn})^k \approx (1 - e^{-\frac{kn}{m}})^k$
另有一个分析方法可以不依赖独立性的假设，证得与前面的结果一致。
进一步推断可得，当数组的位数 m 增加时，假阳性的概率会降低；当插入元素的次数 n 增加时，假阳性的概率会增加。
源码分析
以太坊源码中使用到的bloom filter的实现：github.com/steakknife/bloomfilter
计算假阳性概率，与数学分析的公式相似
$(1 - e^{-\frac{k(n + 0.5)}{m - 1}})^k$
func (f *Filter) FalsePosititveProbability() float64 {
k := float64(f.K())
n := float64(f.N())
m := float64(f.M())
return math.Pow(1.0-math.Exp(-k)*(n+0.5)/(m-1), k)
} 根据数列位数 m 和 预计加入元素的最大数量 maxN 来预估最佳的映射函数个数 K
$K = ceil(\frac{m * \log_e 2}{maxN})$
ceil即使取下界。
func OptimalK(m, maxN uint64) uint64 {
return uint64(math.Ceil(float64(m) * math.Ln2 / float64(maxN)))
} 根据预计加入元素的最大数量 maxN 和 可接受最大假阳性概率 p 来预估最佳的数列位数 m
$m = ceil(\frac{-maxN * log_2 p}{(log_e 2)^2})$
func OptimalM(maxN uint64, p float64) uint64 {
return uint64(math.Ceil(-float64(maxN) * math.Log(p) / (math.Ln2 * math.Ln2)))
} bloom filter 内部结构
type Filter struct {
lock sync.RWMutex //使用读写锁保证线程安全
bits []uint64 // 数列，采用位向量bitvector的方式存储
keys []uint64 // 散列函数keys，此处存储散列算法用到的随机数
m uint64 // 数列的位数
n uint64 // 已经插入的元素数
} 哈希函数
先取待哈希的值的Sum64值到rawHash。
Filter.keys是存放着 n 个随机数。取每一个其中的数与rawHash进行异或XOR操作，得到的结果放到hashes的切片中。
func (f *Filter) hash(v hash.Hash64) []uint64 {
rawHash := v.Sum64()
n := len(f.keys)
hashes := make([]uint64, n)
for i := 0; i < n; i++ {
hashes[i] = rawHash ^ f.keys[i]
}
return hashes
} 添加元素
0x3f（16进制） = 0011 1111（二进制） = 63 （十进制）
F.bits[i>>6] |= 1 << uint(i&0x3f) 位向量（bit vector）的set操作。
整个添加的流程即有 n 个随机数，进行异或得到 n 个中间值，然后再求余（一种散列映射的方式），根据位向量set到filter的数列里。
func (f *Filter) Add(v hash.Hash64) {
f.lock.Lock()
defer f.lock.Unlock()
for _, i := range f.hash(v) {
// f.setBit(i)
i %= f.m
f.bits[i>>6] |= 1 << uint(i&0x3f)
}
f.n++
} 验证元素是否存在
类似，迭代「哈希，求余，位向量test操作」 。
// false: f definitely does not contain value v
// true: f maybe contains value v
func (f *Filter) Contains(v hash.Hash64) bool {
f.lock.RLock()
defer f.lock.RUnlock()
r := uint64(1)
for _, i := range f.hash(v) {
// r |= f.getBit(k)
i %= f.m
// &=，若有0，即表示元素存在的任意一位为0，r都会是0
r &= (f.bits[i>>6] >> uint(i&0x3f)) & 1
}
return uint64ToBool(r)
}