Javascript 随机数函数 学习之二：产生服从正态分布随机数
一、为什么需要服从正态分布的随机函数
一般我们经常使用的随机数函数 Math.random() 产生的是服从均匀分布的随机数，能够模拟等概率出现的情况，例如 扔一个骰子，1到6点的概率应该相等，但现实生活中更多的随机现象是符合正态分布的，例如20岁成年人的体重分布等。
假如我们在制作一个游戏，要随机设定许许多多 NPC 的身高，如果还用Math.random()，生成从140 到 220 之间的数字，就会发现每个身高段的人数是一样多的，这是比较无趣的，这样的世界也与我们习惯不同，现实应该是特别高和特别矮的都很少，处于中间的人数最多，这就要求随机函数符合正态分布。
二、正态分布复习
图片来自：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
具体性质也请查阅上面链接，描述正态分布的主要特征是均值和方差，如上图，最左的倒钟形图的均值为-2, 其余为0 ;
方差越大，钟形越扁平，方差越小越陡;
- 密度函数图像关于均值对称。
- 在x=μ±σ处，曲线有拐点。
- 函数曲线下68.26%的面积在平均数左右的一个标准差σ的区间内。
- 95.44%的面积在平均数左右两个标准差2σ的区间内。
- 99.74%的面积在平均数左右三个标准差3σ的区间内。
当均值为0， 方差为 1 时称为标准正态分布;
三、由均匀分布经 “Box-Muller法” 转换为正态分布
通过查阅文献可知（请参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform），有一个称为 Box-Muller (1958) 转换的算法能够将两个在区间（0,1] 的均匀分布转化为标准正态分布，其公式为：
y1 = sqrt( - 2 ln(u) ) cos( 2 pi v )
y2 = sqrt( - 2 ln(u) ) sin( 2 pi v )
因为三角函数计算较慢，我们可以通过上述公式的一个 polar form（极坐标形式）能够简化计算，
算法描述如下：
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){ return mean+(randomNormalDistribution()*std_dev); } function randomNormalDistribution(){ var u=0.0, v=0.0, w=0.0, c=0.0; do{ //获得两个（-1,1）的独立随机变量 u=Math.random()*2-1.0; v=Math.random()*2-1.0; w=u*u+v*v; }while(w==0.0||w>=1.0) //这里就是 Box-Muller转换 c=Math.sqrt((-2*Math.log(w))/w); //返回2个标准正态分布的随机数，封装进一个数组返回 //当然，因为这个函数运行较快，也可以扔掉一个 //return [u*c,v*c]; return u*c; }
因此，假如我们要获得均值为180，要68.26%左右的NPC身高都在[170,190]之内，即1个标准差范围内，因此标准差为10, 可以通过getNumberInNormalDistribution(180,10) 调用，我们实验1000000词，得到结果如下：
// 身高：频率 128:1 132:1 133:1 134:1 135:1 136:2 137:4 138:8 139:11 140:14 141:19 142:28 143:41 144:54 145:80 146:133 147:153 148:235 149:333 150:429 151:598 152:764 153:1059 154:1314 155:1776 156:2290 157:2835 158:3503 159:4373 160:5513 161:6475 162:7809 163:9437 164:11189 165:13282 166:15020 167:17239 168:19215 169:21597 170:24336 171:26684 172:29000 173:31413 174:33179 175:35027 176:37084 177:38047 178:38968 179:39635 180:39700 181:39548 182:38960 183:38674 184:36948 185:35220 186:33224 187:31038 188:29198 189:26668 190:23893 191:21662 192:19476 193:16898 194:15056 195:13046 196:10971 197:9456 198:7928 199:6697 200:5370 201:4334 202:3548 203:2810 204:2330 205:1765 206:1350 207:1093 208:797 209:595 210:371 211:328 212:255 213:165 214:121 215:91 216:71 217:29 218:32 219:28 220:20 221:6 222:7 223:7 224:3 225:2 228:1
绘制成柱状图如下：
可见，这是有着非常明显的正态分布图像特征。
四、由均匀分布叠加获得正态分布
我们需要祭出万能的中心极限定理。
根据独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，...Xn,...相互独立，服从同一分布，且数学期望为μ，标准差为σ (σ>0)，则随机变量之和的标准化变量:
Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 近似服从标准正态分布 N(0，1)
如果我们将足够多个均匀分布随机变量相加，相加之和将服从正态分布。但是，我们需要累加多少个均匀分布才能较好低近似正态分布呢？
由于 X~U(0, 1) , 可得 μ=1/2， σ=sqrt(1/12)，代入上面的式子即可近似模拟随机变量之和的概率密度函数(p.d.f).
下图是由2个服从 U(0，1) 分布的随机变量相加得到的 p.d.f 图像：
如果我们增加累加的均匀分布的数量会怎样呢？
上图是 n=3 时的图像，可以看到正态分布的形状出来了，但顶端还略为平缓。
特别低，当n=12时 (随机变量(X1+X2+...+Xn)的均值为6，方差为1) 这时有一个很好的特点，公式 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 的分母正好为1，因此简化成了 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)，非常便于编程计算，并且已经非常接近于标准正态分布，请见下图：
也就是说均值为μ，标准差为σ 的独立同分布变量 X1，X2, ..., Xn 的算数平均数 T=(X1+X2+ ...+ Xn)/n，当n充分大时，近似地服从均值为μ，方差为σ*σ/n 的正态分布。
最后，代码如下：
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){ return mean+(uniform2NormalDistribution()*std_dev); } function uniform2NormalDistribution(){ var sum=0.0; for(var i=0; i<12; i++){ sum=sum+Math.random(); } return sum-6.0; }
同样，将产生100万个随机数按频率画出直方图如下：
如何产生服从均匀分布的随机数呢？
请见上篇：