LG P3233 [HNOI2014]世界树(虚树，dp)

LG P3233 [HNOI2014]世界树

Solution

看完题意，显然是虚树。

建出虚树后，可以容易地求出虚树上的点会被哪一个点管辖，关键在于不在虚树上的点归属于哪个点，我们分类讨论不在虚树上的点的贡献：

我们先假设虚树上的点全是关键点，注意后文的子树都是原树的子树。

1. 在虚树上点$x,y$路径上（不包含$x,y$）的点（设依次为$v_1,v_2...v_k$，它们不在虚树上）及其子树中的点：它们要么属于$x$，要么属于$y$，且必然存在一个$mid$，使得$v_1,v_2...v_{mid-1}$属于$x$，$v_{mid}...v_k$属于$y$，而求解这个$mid$位置的判定条件是$dis{t}_{x,mid}$和$dis{t}_{mid,y}$的大小（大小相同看编号大小），这个可以通过二分简单地得到。而对于那些$v_i$子树中的点，一定和$v_i$的归属相同。
2. 在虚树上的点$x$的子树中不在虚树上的儿子$v$以及它的子树中的点：也就是$v$子树中没有关键点，那么一定整个子树归属于$x$，直接统计即可。
3. 完全不在虚树上的点：它们一定不在虚树的根的子树内（可以理解为在虚树的上面），它们一定归属于虚树的根。

实现时，我们通过一个向上和一个向下的$dp$求出虚树上点的归属。
然后再对于每个点$x$，枚举其出边$v$，求出$mid$，计算$x,v$的新增贡献。
并且记录一个$g_x$表示$2,3$类的答案，初始为子树大小，枚举出边$v$时，把$x$包含$v$的儿子的子树结点个数去掉，最后让$x$的贡献加上$g_x$即可。

时间复杂度$O(nlgn)$。

有一个实现过程中的小$trick$是建虚树时直接把$1$结点放入虚树，会大大减少一些不必要的分类讨论。

Code

#include 
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//#include 
//#include 
//#include 

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) {
      return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) {
      return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
     
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {
      if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') {
      x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
PR mn[MAXN];
vector<int> e[MAXN],E[MAXN];
int a[MAXN],b[MAXN],f[MAXN],g[MAXN],stk[MAXN],top=0,n,m;
int dep[MAXN],sz[MAXN],Log[MAXN],dfn[MAXN],fa[MAXN][20],head[MAXN],flag[MAXN],DFN=0,edgenum;
int getlca(int x,int y)
{
     
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
		if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
		if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int jump(int x,int d)
{
     
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
		if (dep[fa[x][i]]>=d) x=fa[x][i];
	return x;
}
void dfs(int x,int father)
{
     
	fa[x][0]=father,sz[x]=1,dep[x]=dep[father]+1,dfn[x]=++DFN;
	for (int i=1;i<=Log[dep[x]];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (auto v:e[x]) if (v!=father) dfs(v,x),sz[x]+=sz[v];
}
void Init()
{
     
	dep[0]=-1,Log[1]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	dfs(1,0);
}


void add(int u,int v) {
      E[u].PB(v); }
void build()
{
     
	sort(a+1,a+m+1,[&](int x,int y){
      return dfn[x]<dfn[y]; });
	stk[top=1]=1;
	for (int i=1+(a[1]==1);i<=m;i++)
	{
     
		int lca=getlca(stk[top],a[i]);
		while (top>1&&dep[stk[top-1]]>dep[lca]) add(stk[top-1],stk[top]),top--;
		if (dep[stk[top]]>dep[lca]) add(lca,stk[top--]);
		if (!top||stk[top]!=lca) stk[++top]=lca;
		stk[++top]=a[i];
	}
	while (top>1) add(stk[top-1],stk[top]),top--;
}


void up(int x,int father)
{
     
	mn[x]=(flag[x]?MP(0,x):MP(INF,x));
	for (auto v:E[x])
	{
     
		if (v==father) continue;
		up(v,x),upmin(mn[x],MP(mn[v].fi+dep[v]-dep[x],mn[v].se));
	}
}
void down(int x,int father)
{
     
	for (auto v:E[x])
		if (v!=father) upmin(mn[v],MP(mn[x].fi+dep[v]-dep[x],mn[x].se)),down(v,x);
}

void tree_dp(int x,int father)
{
     
	for (auto v:E[x])
		if (v!=father) tree_dp(v,x);
	g[x]=sz[x];
	for (auto v:E[x])
	{
     
		int t=jump(v,dep[x]+1); g[x]-=sz[t];
		if (mn[x].se==mn[v].se) {
      f[mn[x].se]+=sz[t]-sz[v]; continue; }

		int mid=v;
		for (int i=Log[dep[v]];i>=0;i--)
		{
     
			int p=fa[mid][i];
			if (dep[p]<=dep[x]) continue;
			if (MP(dep[p]-dep[x]+mn[x].fi,mn[x].se)>MP(dep[v]-dep[p]+mn[v].fi,mn[v].se)) mid=p;
		}
		f[mn[x].se]+=sz[t]-sz[mid];
		f[mn[v].se]+=sz[mid]-sz[v];
	}
	f[mn[x].se]+=g[x];
}

void clean(int x,int father)
{
     
	for (auto v:E[x]) if (v!=father) clean(v,x);
	f[x]=g[x]=0,E[x].clear();
}
void clear()
{
     
	for (int i=1;i<=m;i++) flag[a[i]]=0;
	clean(1,0),top=0;
}

signed main()
{
     
	n=read();
	for (int i=1,u,v;i<n;i++) u=read(),v=read(),e[u].PB(v),e[v].PB(u);
	Init();
	int Case=read();
	while (Case--)
	{
     
		m=read();
		for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=b[i]=read(),flag[a[i]]=1;
		build(),up(1,0),down(1,0),tree_dp(1,0);
		for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",f[b[i]]); puts("");
		clear();
	}
	return 0;
}