百钱买百鸡（枚举思想编写，并进行3次优化）

1.题目

我国古代数学家张丘建在《算经》一书中曾提出著名的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？
翻译过来，意思是公鸡一个五块钱，母鸡一个三块钱，小鸡三个一块钱，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

2.枚举法思想解法

2.1 枚举法思路

• 枚举变量：公鸡，母鸡，小鸡对应了i,j,k
• 枚举范围：公鸡，母鸡，小鸡都是1-100次，对应了i,j,k分别循环一百次
• 枚举判断条件：
  • 钱数=100:5公鸡+3母鸡+1/3小鸡=100 对应 5i+3j+k/3 == 100
  • 总鸡数=00:公鸡+母鸡+小鸡=100 对应 i+j+k == 100
  • 小鸡必须为整数:小鸡%3=0 对应 k%3 == 0

#include
using namespace std;
int main()
{
     
	int count = 0;
	for(int i = 1 ; i <= 100 ; i++)
	{
     
		for(int j = 1 ; j <= 100 ; j++)
		{
     
			for(int k = 1 ; k <= 100 ; k++)
			{
     
				count++;
				if(k%3 == 0 && 5*i+3*j+k/3 == 100 && i+j+k == 100){
     
					cout<<"鸡翁"<<i<<"只，鸡母"<<j<<"只，鸡雏"<<k<<"%d只"<<endl;
				}
			}
		}
	}
	cout<<"循环次数="<<count<<endl;
	return 0;
}

看得出来总循环次数是1000000次

3.第一次优化：缩小枚举范围

• 因为一百块钱总共可以买20只公鸡，且母鸡和小鸡最少一只，因此公鸡的取值范围可以缩小为1-18也就是1≤i≤18
• 因为一百块钱最多可以买34只母鸡（33.33），且公鸡和小鸡最少一只，因此母鸡的取值范围为1≤j≤32
• 因为小鸡一元三只，所以这里无所缩小，公鸡和母鸡最少一只,因此小鸡的取值范围为1-98，也就是1≤k≤98

#include
using namespace std;
int main()
{
     
	int count = 0;
	for(int i = 1 ; i <= 18 ; i++)
	{
     
		for(int j = 1 ; j <= 32 ; j++)
		{
     
			for(int k =1 ; k <= 98 ; k++ )
			{
     
				count++;
				if(k%3 == 0 && 5*i+3*j+k/3 == 100 && i+j+k==100){
     
					cout<<"鸡翁"<<i<<"只，鸡母"<<j<<"只，鸡雏"<<k<<"只"<<endl;
				}
			}
		}
	}
	cout<<"循环次数="<<count<<endl;
	return 0;
}

看得出来总循环次数是56448次

4.第二次优化：减少枚举变量

• 因为公鸡，母鸡和小鸡的总数是100，所当公鸡和母鸡确定的时候，小鸡就可以用总数减去公鸡，减去母鸡来表示也就是k=100-i-j;

#include
using namespace std;
int main()
{
     
	int count = 0;
	for(int i = 1 ; i <= 18 ; i++)
	{
     
		for(int j = 1 ; j <= 32 ; j++)
		{
     
			count++;
			int k = 100 - i - j;
			if(k%3 == 0 && 5*i+3*j+k/3 == 100){
     
				cout<<"鸡翁"<<i<<"只，鸡母"<<j<<"只，鸡雏"<<k<<"只"<<endl;
			}
		}
	}
	cout<<"循环次数="<<count<<endl;
	return 0;
}

看得出来总循环的次数是576

5.第三次优化：进一步减少枚举变量

• 先来看三个枚举变量之间的关系
  • i+j+k=100
  • 5i+3j+k/3=100
    利用上述二式，消去k得14i+8j=200–>7i+4j=100
    j = (100-7i)/4
    k = 100 - (100-7i)/4
• 从7i+4j=100可以推出j最小取1，则4j为4，7i最大为96，故i的取值范围为1-13

#include
using namespace std;
int main()
{
     
	int count = 0;
	for(int i = 1 ; i <= 13 ; i++)
	{
     
		count++;
		int j = (100-7*i)/4;
		int k = 100 - j -i;
		if( (100-7*i)%4 == 0  && k%3 == 0){
     
			cout<<"鸡翁"<<i<<"只，鸡母"<<j<<"只，鸡雏"<<k<<"只"<<endl;
		}
	}
	cout<<"循环次数="<<count<<endl;
	return 0;
}

看得出来总循环次数减少到了13
大家可以看得出来枚举法的总体思路是比较简单的并不复杂，所以我们需要尽可能的去优化它。从最开始的1000000优化到最后的13次，可以看出优化的作用，更可以从中体会到算法的魅力！

4个cpp源文件下载：点击下载
其实没必要下载，自己从代码框中复制就可以了