用多项式的逆优化dp总结

用多项式的逆优化dp总结

考虑一个经典的模型：

$d{p}_i={\sum }_{j=1}^{i}d{p}_{i-j}\times f_j$

求$d{p}_n$ 这种问题表面看上去需要$n^2$，但是事实上可以更优。

我们建立一个长度无穷大的多项式:$F(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{f}_i\times x^i$,特殊的：$f_0=f_{k+n}=0,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

然后可以发现$d{p}_n={\sum }_{i=0}^{\infty }[x^n](F^i(x))$

由于${\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i=\frac{1}{1-x}$

所以:$d{p}_n=[x^n]\frac{1}{1-F(x)}$

然后$d{p}_n$就是多项式$G(x)=1-F(x)$的逆的第n项系数。时间复杂度为$O(n\log n)$

如何求多项式的逆元？

题解 P4238 【模板】多项式求逆- Great_Influence 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)