扭倒费赌局问题
1. 引言
丈夫和妻子在家玩抛硬币游戏。假设每次妻子选正面，丈夫选反面。妻子制定规则如下：每一轮开始时筹码为 1 元钱，如果第一局为正面，则本轮结束，妻子赢 1 元钱。否则筹码加为 2 元钱，如果妻子赢，本轮结束，她还是赚 1 元钱。否则筹码加为 4 元钱，以此类推。问：
- 这个赌局是否公平？
- 妻子可以通过这种方式把丈夫的钱赢光吗？
说明：这个问题是我若干年前自己想出来的，若有雷同，纯属巧合！
2. 问题建模
分析该问题涉及的几个因素：
- 妻子、丈夫的初始个人资产。假设它们均为正整数，也可以考虑为无穷的情况。
- 终止条件，与赌局数量紧密相关。可以用某方钱输光为终止条件，在此基础上进一步考虑赌局数量固定，还可以仅考虑不超过一轮。
- 筹码设置策略。可以考虑固定筹码、加倍筹码、按条件改变筹码等策略。 引言中所提到是按条件改变筹码的一种特例。
- 硬币正面概率。可以固定为 0.5，也可以考虑其它常数。
为便于后面对情况的描述，对各个因素建立相应的符号系统。
2.1 资产建模
记妻子资产为 m m m, 如果为无穷，则记为 m → ∞ m \rightarrow \infty m→∞. 丈夫资产为 n n n, 同理可为无穷. 记妻子资产的变化量为 Δ m \Delta m Δm, 其期望值为 Δ m ‾ \overline{\Delta m} Δm, 方差为 σ \sigma σ .
简便起见，资产均省略其单位，即元。
2.2 终止条件
如果妻子输光，则记为 t = W t = W t=W; 如果丈夫输光，则记为 t = H t = H t=H; 如果达到总局数上限 G G G, 则记为 t = G t = G t=G. 轮数记为 r r r.
2.3 筹码设置策略
不失一般性，固定筹码记为 v ≡ 1 v \equiv 1 v≡1; 每次加倍筹码记为 v = k i v = k^i v=ki, 默认情况下 k = 2 k = 2 k=2; 对于按加倍筹码策略，可以认为在每一轮退化为加倍筹码策略。
2.4 单局胜率设置
硬币正面概率记为 p p p, 则反面概率为 ( 1 − p ) (1 - p) (1−p). 默认情况为 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5.
3. 不同设置下的问题分析
本节基于不同设置，分析相应的问题。为简便起见，均站在妻子的角度讨论输赢。
3.1 双方资产无限、局数有限、不超过1轮
性质1: 当 m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, t ≤ G t \leq G t≤G, v = k i v = k^i v=ki, k = 2 k = 2 k=2, p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, r ≤ 1 r \leq 1 r≤1时, Δ m ‾ = 0 \overline{\Delta m} = 0 Δm=0.
证明: 由于 r ≤ 1 r \leq 1 r≤1，只需要赢1局即结束；又由于 t ≤ G t \leq G t≤G，连续输 G G G 局也需要结束.
情况1: 连续输 i i i 局之后，赢1局结束，其中 0 ≤ i ≤ G − 1 0 \leq i \leq G - 1 0≤i≤G−1，其概率为
( 1 − p ) i p , (1) (1-p)^i p, \tag{1} (1−p)ip,(1)
收益为 1.
情况2: 连续输 G G G 次结束，其概率为
( 1 − p ) G , (2) (1 - p)^G, \tag{2} (1−p)G,(2)
损失为
k 0 + ⋯ + k G − 1 = k G − 1. (3) k^0 + \dots + k^{G - 1} = k^G - 1 \tag{3}. k0+⋯+kG−1=kG−1.(3)
由于损失为负收益，综合情况 1 和 2 , 期望收益为:
Δ m ‾ = − ( 1 − p ) G ( k G − 1 ) + ∑ i = 0 G − 1 ( 1 − p ) i p . (4) \overline{\Delta m} = - (1 - p)^G (k^G - 1) + \sum_{i = 0}^{G - 1} (1-p)^i p. \tag{4} Δm=−(1−p)G(kG−1)+i=0∑G−1(1−p)ip.(4)
由于 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, k = 2 k = 2 k=2,
Δ m ‾ = − 1 2 G ( 2 G − 1 ) + ∑ i = 1 G 1 2 i = 0. \overline{\Delta m} = -\frac{1}{2^G}(2^G - 1) + \sum_{i = 1}^{G}\frac{1}{2^i} = 0. Δm=−2G1(2G−1)+i=1∑G2i1=0.
证毕。
性质1说明，在这个场景下赌局是公平的。进一步地，可以证明无论如何改变筹码设置策略，赌局都是公平的。
3.2 双方资产无限、局数无上限、刚好1轮
性质2: 当 m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, p = 2 p = 2 p=2, 局数无上限，1 轮的平均局数为 2 2 2.
证明: 连续输 i i i 局之后，赢1局结束，其中 0 ≤ i ≤ G − 1 0 \leq i \leq G - 1 0≤i≤G−1，其概率为 (1) 式所示.
因此，平均局数为
t ‾ = ∑ i = 0 ∞ i ( 1 − p ) i p . \overline{t} = \sum_{i = 0}^ \infty i (1 - p)^i p. t=i=0∑∞i(1−p)ip.
当 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5 时, 根据高中的级数求和知识。
t ‾ = ∑ i = 1 ∞ i 2 i = 2. \overline{t} = \sum_{i = 1}^ \infty \frac{i}{2^i} = 2. t=i=1∑∞2ii=2.
证毕。
性质2说明，妻子想要赢 1 元钱，平均需要 2 局。
3.3 双方无限资产下的固定局数
性质3: m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, t = G t = G t=G, v = 2 i v = 2^i v=2i, p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, Δ m ‾ = 0 \overline{\Delta m} = 0 Δm=0.
证明:
注：无限资产不会涉及破产问题。
性质4: 在设置1下，双方的资产变化量方差为 x x x（要计算）。
3.4 双方有限资产下的固定局数
公平
3.5 双方有限资产下的无限局数
公平
3.6 单方有限资产下的有限局数
3.7 单方有限资产下的无限局数
有限资产方将输光。不公平。
想用马尔科夫链。
4. 讨论
重要的是建立一个完备的体系。
做研究工作的要义在于：屁大个事儿，搞一大堆道理，还很严谨的样子。