CF1037H Security （SAM+二维偏序）

题目链接 CF1037H Security

做法：$\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$ 后缀自动机，线段树（不用合并）

题意简述

  给出一个文本串 $S$ ，有 $Q$ 次询问，每次询问给出模式串 $T$ ，问在 $S$ 串中 $[l,r]$ 区间上是否存在比 $T$ 的字典序大的子串，如果存在输出其中字典序最小的那个子串，否则输出 $-1$ 。$1\le l\le r\le |S|\le 10^5,1\le Q,\sum |T|\le 2\times 10^5$ 。

贪心分析

  首先考虑怎么求最小的比 $T$ 字典序大的串，不考虑区间限制。设当前 $T$ 在 $S$ 上最大匹配长度为 $len$ 。

• $len=|T|$ ，则在 $T$ 串后拼上一个字符 $c$ 肯定比 $T$ 字典序要大，我们只需在 $S$ 串中找到一个串为 $T+c$ ,并使 $c$ 最小即可。
• 否则，$T[1,len]$ 上与 $S$ 匹配，但是 $T[1,len+1]$ 不匹配了，我们只需找到一个最小字符 $c$，满足 $c>T[len+1]$ 且 $T[1,len]+c$ 为 $S$ 的子串，那么 $T[1,len]+c$ 就是答案了。如果没找到这样的 $c$ ,将匹配长度减一，重复进行这个操作。
• $len=0$ 也找不到这样的 $c$ ,只能输出 $-1$ 。

  可以用反证法证明这种构造方法得到的一定是最小的比 $T$ 字典序大的串。而要想知道 $+c$ 后是否是 $S$ 的子串（即是否存在到 $c$ 的转移），用 $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$ 就好啦。

线段树维护二维偏序

  考虑怎么实现区间限制。我们想知道 $S[l,r]$ 上是否能匹配子串，自然不能每个区间都建立一个 $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$。我们要在原 $S$ 的 $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$ 中判断当前匹配到的状态，是否能被 $[l,r]$ 完整包含。一个状态是一些子串的结束位置的集合，如果存在一个结束位置 $maxPos$ ，满足 $l\le maxPos-len+1,maxPos\le r$，（$len$ 为子串长度），则说明在 $[l,r]$ 区间上有该子串。

  观察到如果 $r$ 固定，使得所有结束位置都小于 $r$ ，那么我们只需考虑 $l\le maxPos-len+1$ 部分的限制即可。 $maxPos$ 越大，$maxPos-len+1$ 越大，满足单调性，我们只需把一个状态的最大的结束位置找出来作判断即可。这就是经典的二维偏序问题了。我们先将询问按照右端点从小到大排序，将 $S[1,r]$ 的位置值进线段树，这样找最大结束位置时保证一定是满足 $maxPos\le r$ 的。

//按照右端点排序，小的在前
sort(ques + 1, ques + 1 + n);
for(int i = 1,r = 1;i <= n;i++){
     
    //偏序：让线段树只维护S串中的[1,ques[i].r],这样在check查询时只需判断是否大于左端点ques[i].l即可
    for(; r <= ques[i].r; r ++)
        update(1, 1, dfs_cnt, dfn[id[r]], r);
    match_t(1, i, 1, ques[i].id);
}

  这里线段树是建立在 $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$ 的 $\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ 树的 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序上的，查询一个状态所有结束位置的最大值 即 查询它的子树上所有状态的结束位置的最大值。把子树转化为一段区间，就可以用线段树友好地进行区间操作了。$id[i]$ 是一个序列下标到 $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{M}$ 上状态的映射。然后就是匹配过程了，看完整代码吧~

#include
using namespace std;
#define ls (now<<1)
#define rs (now<<1)+1
#define mid (l+r)/2
typedef long long ll;
const int N = 1e6+6;
const int M = 2e5+6;
int n,dfn[N],high[N],dfs_cnt,mx[N << 1],id[N];
int nxt[N][26],link[N],len[N],cnt = 1,las = 1;
bool flag[N] = {
     0};
string ans[M];
char s[N],t[N],*inputT = t;
vector<int>a[N];

struct node{
     
    int l,r,id,len;
    char *t;
    bool operator<(const node &y )const{
     return r<y.r;}
}ques[N];

void insert(int c,int o){
     
    int cur = ++cnt,p = las;
    len[cur] = len[las] + 1;
    las = cur;
    id[o] = cur;
    for(; p && !nxt[p][c] ; p = link[p])
        nxt[p][c] = cur;
    if(!p) link[cur] = 1;
    else{
     
        int q = nxt[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) link[cur] = q;
        else{
     
            int clone = ++cnt;
            len[clone] = len[p] + 1;
            link[clone] = link[q];
            link[q] = link[cur] = clone;
            memcpy(nxt[clone],nxt[q],sizeof(nxt[q]));
            for(; nxt[p][c] == q;p = link[p])
                nxt[p][c] = clone;
        }
    }
}

//求dfs序，now子树范围[dfn[now],high[now]]
void dfs(int now){
     
    dfn[now] = ++dfs_cnt;
    for(auto to:a[now]) dfs(to);
    high[now] = dfs_cnt;
}

//普通线段树求区间最大值
void update(int now,int l,int r,int x,int v){
     
    if(l == r) {
     mx[now] = max(mx[now],v);return;}
    if(x <= mid) update(ls,l,mid,x,v);
    else update(rs,mid+1,r,x,v);
    mx[now] = max(mx[ls],mx[rs]);
}

int query(int now,int l,int r,int x,int y){
     
    if(x <= l && r <= y) return mx[now];
    int an = 0;
    if(x <= mid) an = query(ls,l,mid,x,y);
    if(y > mid) an = max(an,query(rs,mid+1,r,x,y));
    return an;
}

//查询在now节点在SAM上的endpos集合中是否存在一点maxPos被[l,r]完整包含
//因为线段树上节点都是小于r的，所以只要满足maxPos-match_len+1 >= l,即说明以maxPos结尾，长度为match_len的串在S串的[l,r]中完整出现
//利用线段树O(lgn)查询now子树上（在dfs序中是一段区间）的S串位置的最大值maxPos
bool check(int l,int now,int match_len){
     
    int maxPos = query(1, 1, dfs_cnt, dfn[now], high[now]);
    if(maxPos - match_len + 1 >= l) return true;
    else return false;
}

//now：当前t串已经在SAM匹配的节点，o：查询序号，index:当前要尝试匹配的t串的下标，ans_id离线的答案编号
bool match_t(int now,int o,int index,int ans_id){
     
    //如果已经匹配到t串末尾，尝试在其后放一个字符，如果成功就能与t串拼成一个比t串字典序大的串
    if(ques[o].len < index){
     
        for(int i = 0;i < 26;i++)
            if(nxt[now][i] && check(ques[o].l, nxt[now][i], index)){
     
                flag[ans_id] = 1;         //flag标记时候已找到一个比t串字典序大的串
                ans[ans_id] += 'a'+ i;
                return true;
            }
        return false;       //没拼成
    }
    int c = ques[o].t[index] - 'a';
    int next = nxt[now][c];
    //如果匹配上了，并且也被[l,r]区间包含了，在后面的匹配中也找到了比t串字典序大的串，这里就拼上与t串匹配的串即可
    if(next && check(ques[o].l, next, index) && match_t(next,o,index + 1,ans_id)){
     
        ans[ans_id] += 'a' + c;
        return true;
    }
    //否则，如果能拼上一个比c大的字符，一定也可以得到一个比t串字典序大的串
    else{
     
        for(int i = c + 1;i < 26;i++)
            if(nxt[now][i] && check(ques[o].l, nxt[now][i], index)){
     
                flag[ans_id] = 1;
                ans[ans_id] += 'a'+ i;
                return true;
            }
        return false;
    }
}

int main(){
     
    scanf("%s",s+1);
    int lens = strlen(s+1);
    //建SAM
    for(int i = 1;i <= lens;i++) insert(s[i]-'a',i);

    //parent树连边，建立dfs序
    for(int i = 1;i <= cnt;i++) a[link[i]].push_back(i);
    dfs(1);

    scanf("%d",&n);
    //用inputT指针串联起字符串，防止开多个字符串爆内存
    for(int i = 1;i <= n;i++){
     
        scanf("%d %d %s", &ques[i].l, &ques[i].r, inputT + 1);
        ques[i].t = inputT;
        ques[i].id = i;
        ques[i].len = strlen(ques[i].t + 1);
        inputT += ques[i].len + 1;
    }
    //按照右端点排序，小的在前
    sort(ques + 1, ques + 1 + n);
    for(int i = 1,r = 1;i <= n;i++){
     
        //偏序：让线段树只维护S串中的[1,ques[i].r],这样在check查询时只需判断是否大于左端点ques[i].l即可
        for(; r <= ques[i].r; r ++)
            update(1, 1, dfs_cnt, dfn[id[r]], r);
        match_t(1, i, 1, ques[i].id);
    }

    for(int i = 1;i <= n;i++) {
     
        if(!flag[i]) printf("-1\n");
        else{
     
            //倒序输出字符串
            int l = ans[i].size();
            for(int j = l - 1;j >= 0;j-- )
                printf("%c",ans[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

  这题和 P4770 [NOI2018] 你的名字 做法其实是差不多的，但是由于我不会线段树合并，都只会用一颗线段树解决(°ー°〃)，那时我是看 这个题解 做的题，在这里又用上了，做完这题可以去挑战《你的名字》啦。