测度与概率的定义

1. 导言

微积分的学习顺序是先学微分再学积分。但是从认知上看，先辨析清楚“面积/测度/概率”的概念，再考虑相应的变化：导数/微分/分布函数，应该更加自然。我们将按照这样的顺序，介绍现代分析学和概率论的数学基础。

2. 测度/概率的直观引入

为了定义测度/概率，我们需要给一些特定的集合赋予一些数，使之满足我们对面积/概率的期望，这样自然产生了两个问题：

a. 所有的集合都可以赋予面积/概率的概念吗？

b. 这些被赋予的数应该满足什么条件，才能符合我们对面积/概率的认知？

为了回答问题a和b，我们考虑最简单的离散概率模型。考虑掷$n$粒骰子，那么可能的输出结果为$(k_1,\cdots ,k_n)$，其中$k_1,\cdots ,k_n\in \{1,2,3,4,5,6\}$。这些可能的输出结果$(k_1,\cdots ,k_n)$称为样本，所有的输出结果形成一个集合
$$\Omega =\{(k_1,\cdots ,k_n):k_1,\cdots ,k_n\in \{1,2,3,4,5,6\}\}，$$

我们称$\Omega$为样本空间。$\Omega$的基数为$6^n$。$\Omega$的任何一个子集$S$表示的是“掷骰子的结果在$S$中”这一事件，这一事件我们相信是能达到的，因此，$2^{\Omega }$表示所有以$\Omega$为样本空间的事件，称之为事件域。我们给事件域中的每个事件赋予一个数，称为该事件的概率（面积/测度），直观上，这个数应该是$[0,1]$中的任何实数。也就是定义了映射
$$\mathbb{P}:2^{\Omega }\to [0,1],\mathbb{P}(k_1,\cdots ,k_n)=6^{-n}$$
我们现在把事件域$2^{\Omega }$用$\mathcal{F}$表示（这是惯例），于是我们有了一个完整的概率模型$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$，称之为概率空间。这个概率空间模拟的是随机丢$n$次骰子这一试验。这个概率空间满足条件：

1. $\mathbb{P}(\Omega )=1$。
2. $\mathbb{P}(\{\omega \})=1/|\Omega |$。
3. 对于不交的事件$A,B$，$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$。

不难看出，条件2是不必要的，因为对于一般的概率模型，不同样本的概率很可能不同。这个例子告诉我们，对于任何有限集合，我们都可以在其幂集上定义一个满足条件1，2，3的一致概率（面积/测度）。但接下来这个例子告诉我们，当一个集合被赋予满足条件1和3的概率后，存在一些子集关于这个概率是病态的，因此我们不应该给所有的子集都赋予概率。

考虑掷无穷多次硬币，硬币正面记为$1$，反面记为$0$。则可能的输出结果为$({\delta }_1,\cdots ,{\delta }_n,\cdots )$，其中${\delta }_j\in \{0,1\}$。定义映射
$$\Phi :(0,1]\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}},x\mapsto \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}(x)$$
其中$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}(x)$表示$x$的二进制，由于有一些数会产生两种二进制，比如$\frac{1}{2}=0.011\cdots =0.100\cdots$，我们取有无穷多个$1$的表示，即$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}(\frac{1}{2})=0.011\cdots$。不难看出，$\Phi$是单射，且$\Phi$的像加上$(0,0,\cdots )$就是所有可能的输出结果，因此样本空间$\Omega =\mathrm{I}\mathrm{m}\Phi \cup (0,0,\cdots )$，根据$\Phi$的对应关系，我们可以将样本空间看成$\Omega =\{0\}\cup (0,1]$。假设我们在$2^{\Omega }$上给出了满足条件1，3的一致概率$\mathbb{P}$，则任何一个样本的概率是$0$，否则根据条件3得到全空间$\Omega$的概率为$\infty$。因此我们得到条件：

4. 对于不可数个不交的事件，概率不能满足可加性。

根据条件3和概率的一致性，我们得到对于二分区间和其可数个二分区间子集，$\mathbb{P}$满足可数可加性。因此我们加强条件3为

5. 对于可数个不交事件$A_1,\cdots ,A_n,\cdots$，$\mathbb{P}({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_i)$。

注：条件5实际上是个很奇怪的条件，因为我们不能通过已有的条件1，3，4推出条件5。然而我们已经推出了对于二分区间条件5成立，因此其又是一个自然的条件。事实上，关于应该选择可数可加性(CA)还是有限可加性(FA)仍是众说纷纭的问题，反对使用CA的数学家有De Finetti，Savage等。1983年出版的《Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures》就是研究FA的数学理论，感兴趣的读者可阅读这篇19年的文章。

现在我们总结出我们对概率的几条期望，这些期望通常被称为概率公理：对于样本空间$\Omega$和事件域$\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }$，概率为$\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$且满足如下条件：

1. $\mathbb{P}(\Omega )=1$且$\mathbb{P}(\varnothing )=0$。
2. 对于可数个不交事件$A_1,\cdots ,A_n,\cdots \in \mathcal{F}$，$\mathbb{P}({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_i)$。

概率公理1和2回答了问题b，只有满足概率公理1和2的函数，才能被称为概率。而问题a的等价形式是事件域$\mathcal{F}$是否是$2^{\Omega }$，答案是否定的，对于满足概率公理1和2的概率，$\mathcal{F}$不一定是$2^{\Omega }$。我们假设$\Omega =[0,1]$，$\mathbb{P}$是$2^{\Omega }$上平移不变的概率（平移不变的概率是否存在现在还不知道，我们以后将构造一个平移不变的概率——Lebesgue测度），根据选择公理（Axiom of Choice），我们可以从集合$S=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]/\mathbb{Q}$的每个元素$[x]$中取出一个代表元$x$，所有这样的$x$构成一个集合$V$，$V\subset [\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$，$V$满足如下条件：

1. 对任何有理数$r$，$V_r=V+r$与$V$不交。
2. $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\subset {\bigcup }_{r\in \mathbb{Q}\cap [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]}{V}_r\subset [0,1]$。

根据平移不变性，这是不可能的，因此集合$V$不应该被赋予概率的概念，$V$一般被称为Vitali集。

因此，我们可以总结出：对于集合$\Omega$，首先需要合适地定义出事件域，然后在事件域上定义满足概率公理的概率。

3. 一般的测度空间

我们先定义与事件域对应的一般的$\sigma$域：

定义1（$\sigma$域）. 设$\Omega$是集合，$\mathcal{A}\subset 2^{\Omega }$为一族满足如下条件的集合

• $\varnothing \in \mathcal{A}$.
• 设$A\in \mathcal{A}$，则$A^c\in \mathcal{A}$.
• 设可数个$A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{A}$，则${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$.

则称$\mathcal{A}$为关于$\Omega$的$\sigma$域。

练习1. 设$\mathcal{A}$是集合$\Omega$的$\sigma$域，则

• $\varnothing ,\Omega \in \mathcal{A}$.
• 对于$A,B\in \mathcal{A}$，$A\cap B,A\cup B$和$A\backslash B$都在$\mathcal{A}$中.
• 设可数个$A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{A}$，则${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$.

简单地说，$\sigma$域是有单位元，关于可数交、可数并和补封闭的代数结构。然后在$\sigma$域上定义测度：

定义2（测度）. 设$\Omega$是集合，$\mathcal{F}$是一个$\Omega$的$\sigma$域，如果存在映射$\mu :\mathcal{F}\to [0,\infty ]$满足

• $\mu (\varnothing )=0$.
• 设可数个不交的$A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{F}$，则$\mu ({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)$.

则称$\mu$为$\mathcal{F}$上的测度，$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$称为测度空间，$\mathcal{F}$中的元素称为可测集。

练习2. 如上定义的测度是良好定义的，即设$\Omega$是集合，$\mathcal{F}$是一个$\Omega$的$\sigma$域，映射$\mu :\mathcal{F}\to [0,\infty ]$满足$\mu (\varnothing )=0$。设$\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$是双射，可数个$A_1,\cdots ,A_n\in \mathcal{F}$，则
$$\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_i)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{\varphi (i)})$$

下个练习说明了测度的递增性：

练习3. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，设$A,B\in \mathcal{F}$且$B\subset A$，则$\mu (B)\le \mu (A)$.

下面的命题给出了测度版本的控制收敛定理，这也是测度论三大基本定理（单调收敛定理，Fatou引理，控制收敛定理）的来源：

命题1（测度的连续性）. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$A_1,\cdots ,A_n,\cdots \in \mathcal{F}$是递增的集合，即$A_1\subset \cdots \subset A_n\subset \cdots$，则
$$\mu ({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)=\underset{i\to \infty }{\lim }\mu (A_i).$$
另外，设$B_1,\cdots ,B_n,\cdots \in \mathcal{F}$是递减的集合，即$B_1\supset \cdots \supset B_n\supset \cdots$，且$\mu (B_1)<\infty$，则
$$\mu ({\cap }_{i=1}^{\infty }{B}_i)=\underset{i\to \infty }{\lim }\mu (B_i).$$

证明. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$A_1,\cdots ,A_n,\cdots \in \mathcal{F}$是递增的集合，记$A_0=\varnothing$，则
$${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i={\cup }_{i=1}^{\infty }(A_i\backslash A_{i-1})$$
其中$A_1\backslash A_0,\cdots ,A_i\backslash A_{i-1},\cdots$是不交的可测集，故根据定义2，有$$\mu ({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_i\backslash A_{i-1})$$
由于$A_i=A_{i-1}\cup (A_i\backslash A_{i-1})$，故$\mu (A_i\backslash A_{i-1})=\mu (A_i)-\mu (A_{i-1})$，故
$$\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_i\backslash A_{i-1})=\sum _{i=1}^{\infty }(\mu (A_i)-\mu (A_{i-1}))=\underset{i\to \infty }{\lim }\mu (A_i)$$
另外，设$B_1,\cdots ,B_n,\cdots \in \mathcal{F}$是递减的集合，$\mu (B_1)<\infty$，则$B_1\backslash B_i$是递增的集合，故
$$\mu (B_1\backslash {\cap }_{i=1}^{\infty }{B}_i)=\mu ({\cup }_{i=1}^{\infty }(B_1\backslash B_i))=\underset{i\to \infty }{\lim }\mu (B_1\backslash B_i)=\mu (B_1)-\underset{i\to \infty }{\lim }\mu (B_i)$$
上式左端为$\mu (B_1)-\mu ({\cap }_{i=1}^{\infty }{B}_i)$，证毕。

练习4. 命题1中关于递减集合$B_i$的条件$\mu (B_1)<\infty$是不能去掉的。考虑集合$\mathbb{N}$，选$2^{\mathbb{N}}$为$\sigma$域，定义映射
$$\mu :2^{\mathbb{N}}\to [0,\infty ],S\mapsto |S|$$
验证：

• $\mu$确实是$2^{\mathbb{N}}$上的测度。
• 记集合$B_i=\{i,i+1,\cdots \}$，则$B_n$为递减的可测集，且$\mu ({\cap }_{i=1}^{\infty }{B}_i)\ne {\lim }_{i\to \infty }\mu (B_i)$。

设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，当$\mu (\Omega )=1$时，$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$称为概率空间，$\mu$常用$\mathbb{P}$代替，此时写成概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$。

4. 测度空间上的积分

设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$f:\Omega \to [-\infty ,\infty ]$是函数，我们希望定义$f$在$\Omega$上的积分${\int }_{\Omega }fd\mu$，考虑最简单的情况：$f=1_A$，则自然的想法是
$${\int }_{\Omega }{1}_{A}d\mu :=\mu (A)$$
这说明不是所有从$\Omega$到$[-\infty ,\infty ]$的函数都能定义积分，至少对于$1_A$来说，我们需要$A\in \mathcal{F}$。这启示我们如下定义一类“可以积分”的函数

定义3（可测函数）. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，设$f:\Omega \to [-\infty ,\infty ]$是函数，$f$的正部和负部分别定义为
$$f^{+}:=f{1}_{\{f(x)>0\}},f^{-}:=-f{1}_{\{f(x)<0\}},$$
如果存在$a_i,b_i\in (0,\infty )$和可测集$A_i,B_i\in \mathcal{F}$使得
$$f^{+}=\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i{1}_{A_i},f^{-}=\sum _{i=1}^{\infty }{b}_i{1}_{B_i}$$
则称$f$为可测函数。

如上定义的可测函数是很直观的，但是根据定义判断一个函数是否是可测函数并不容易，因此我们给出一个判断可测函数的判据。

命题2（可测函数的判据）. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$f:\Omega \to [-\infty ,\infty ]$是函数，则$f$是可测函数，当且仅当对于任何开集$U\subset \mathbb{R}$，$f^{-1}(U)$是$\Omega$中的可测集。

证明. 首先设$f$是可测函数，则存在$a_i,b_i\in (0,\infty )$和可测集$A_i,B_i\in \mathcal{F}$使得
$$f^{+}=\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i{1}_{A_i},f^{-}=\sum _{i=1}^{\infty }{b}_i{1}_{B_i}$$
故$f=f^{+}-f^{-}$，故$$f^{-1}(0)=(f^{+}{)}^{-1}(0)\cap (f^{-}{)}^{-1}(0)=(\Omega \backslash {\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)\cap (\Omega \backslash {\cup }_{i=1}^{\infty }{B}_i)$$是可测集。设开集$U\subset \mathbb{R}$，则$U={\cup }_{j=1}^{\infty }{I}_j$，其中$I_j$是不交的开区间，且$f^{-1}(U)={\cup }_{i=1}^{\infty }{f}^{-1}(I_i)$，又注意到$I_j\backslash \{0\}$仍是不交开区间之并，故我们只需要证明对于处在$0$点右侧的开区间$I$，$f^{-1}(I)$是可测集即可。
$$(f^{+}{)}^{-1}(1,\infty ]=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{\sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i}>1\}$$
为可测集。同理$f^{-1}[-\infty ,2)$是可测集，故$f^{-1}(U)$是可测集。
反之，如果对于任何开集$U\subset \mathbb{R}$，$f^{-1}(U)$是$\Omega$中的可测集。则令$${\varphi }_k=\sum _{n=1}^{2^k}\frac{k(n-1)}{2^k}{1}_{\{\frac{k(n-1)}{2^k}\le f(x)<\frac{kn}{2^k}\}}\le f^{+}$$
${\varphi }_k$递增收敛于$f^{+}$，故$f^{+}={\varphi }_1+({\varphi }_2-{\varphi }_1)+\cdots$就是我们想要的分解，证毕。

练习5. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$f,g$和$f_1,\cdots ,f_n,\cdots$都是$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数，$a,b\in \mathbb{R}$，则

• $af+bg$是可测函数。

我们在定义了Lebesgue测度之后，将说明所有的连续函数都是可测函数，这样结合练习5就给出了一大类可以在上面定义积分的函数（连续函数，半连续函数等）。

定义4（可测函数的积分）. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，$f:\Omega \to [0,\infty ]$是可测函数，则定义
$${\int }_{\Omega }fd\mu :=\sup \{\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (A_i):f\ge \sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i},A_i\in \mathcal{F}\}$$
一般地，如果$f:\Omega \to [-\infty ,\infty ]$是可测函数，则$f=f^{+}-f^{-}$，如果$\min \{{\int }_{\Omega }{f}^{+}d\mu ,{\int }_{\Omega }{f}^{-}d\mu \}<\infty$，则称$f$是可积函数，$f$的积分定义为
$${\int }_{\Omega }fd\mu ={\int }_{\Omega }{f}^{+}d\mu -{\int }_{\Omega }{f}^{-}d\mu .$$

练习6. 设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$是测度空间，则

• 设$f:\Omega \to [0,\infty ]$是可测函数，则
  $${\int }_{\Omega }fd\mu =\sup \{\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (A_i):f\ge \sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i},A_i\in \mathcal{F},A_i不交\}$$
  提示：任何${\sum }_{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i}$可分解为
  $$\sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i}=\sum _{({\delta }_1,\cdots ,{\delta }_n)}(a_1{\delta }_1+\cdots +a_n{\delta }_n)1_{B_{{\delta }_1}^1\cap \cdots \cap B_{{\delta }_n}^n}$$
  其中${\delta }_i$取值为$0$或$1$，$B_0^i=A_i$，$B_1^i=A_i^c$。
• 设$A\in \mathcal{F}$，则${\int }_{\Omega }{1}_{A}d\mu =\mu (A)$。
• 设$a,b\ge 0$，$f,g:\Omega \to [0,\infty ]$是可测函数，则$${\int }_{\Omega }af+bgd\mu =a{\int }_{\Omega }fd\mu +b{\int }_{\Omega }gd\mu .$$
• 设$a,b\in \mathbb{R}$，且