Coursera离散数学概论笔记（五）： 集合论之关系基本概念

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1 有序组

1.1 二元有序组

元素的无序性是集合的特征之一，元素的有序组合可以从集合来定义。

二元有序组（或称二元组、序偶）：设 $a,b$ 为任意对象，称集合族 $\{\{a\},\{a,b\}\}$ 为二元有序组，简记为 $<a,b>$。其中，称 $a$ 为 $<a,b>$ 的第一分量，$b$ 为第二分量。

1.2 “有序”的含义

定理：对于任意序偶 $<a,b>,<c,d>$ ，$<a,b>=<c,d>$ 当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 。

证明如下：

当 $a\ne b$ 时，$<a,b>\ne <b,a>$ ，但$\{a,b\}=\{b,a\}$ 。

有序组利用元素和集合的两个不同层次进行巧妙定义，实现了两个对象 $a,b$ 的有序排列。

1.3 n 元有序组的定义

利用递归定义对 n 元有序组（n-tuple）$<a_1,...,a_n>$ 进行定义：

$n=2$ 时，$<a_1,a_2>=\{\{a_1\},\{a_1,a_2\}\}$

$n\ge 2$ 时，$<a_1,...,a_n>=<<a_1,...,a_{n-1}>,a_n>$

其中，$a_1$ 称为 n 元组的第 i 分量。

定理：对于任意 n 元组 $<a_1,...,a_n>=<b_1,...,a_n>$ 当且仅当 $a_1=b_1,...,a_n=b_n$ 。

2 笛卡尔积

2.1 定义

对任意集合 $A_1,A_2,...,A_n$ ，$A_1\times A_2$ 称作集合 $A_1,A_2$ 的笛卡尔积，即为一个有序对的集合，定义如下：

$n=2$ 时，$A_1\times A_2=\{<u,v>|u\in A_1,v\in A_2\}$

$n\ge 2$ 时，$A_1,A_2,...,A_n=(A_1\times A_2\times ...\times A_{n-1})\times A_n$

2.2 例子

2.3 性质

一般情况下，$A\times B\ne B\times A$ ，$A\times (B\times C)\ne (A\times B)\times C$ ，即笛卡尔积运算不满足交换律和结合律。

笛卡尔积对集合运算的分配律：设 $A,B,C$ 为任意集合，此处用 $\cdot$ 表示 $\cup ,\cap ,-$ 运算，那么有 $A\times (B\cdot C)=(A\times B)\cdot (A\times C)$ ，$(B\cdot C)\times A=(B\times A)\cdot (C\times A)$ 。

证明如下：

笛卡尔积的基数：对于任意有限集合 $A_1,...,A_n$ ，有 $|A_1\times ...\times A_n|=|A_1|\ast ...\ast |A_n|$ 。

3 关系定义

3.1 关系的基本概念

关系是各个对象之间的联系和对应，最常见的是两组对象之间的联系和对应（比如“职员-部门”的隶属关系），也有三组或者更多对象之间的联系和对应（比如“供应商-工程-零件“的供应关系）。

采用二元组或多元组的集合来表示关系。

3.2 关系的定义

如果 R 是$A_1\times A_2...\times A_n$ 的一个子集，R 称为集合 $A_1,A_2,...,A_{n-1}$ 到 $A_n$ 的 n 元关系。当如果 R 是$A_1=A_2...=A_n$ 时，也称 R 为 $A$ 上的 n 元关系。

如果 R 是 $A\times B$ 的一个子集，R 称为集合 $A$ 到 $B$ 的 二元关系。当如果 R 是 $A\times A$ 上的一个子集，也称 R 为 $A$ 上的二元关系。（我们主要研究二元关系）

3.3 关系的例子

3.4 几个特殊的二元关系

• 空关系：$\varnothing$ ，$\varnothing \subseteq A\times B$，称 $\varnothing$ 为 A 到 B 的空关系。
• 全关系：$A\times B$ ，笛卡尔积 $A\times B$ 是 A 到 B 的全关系。
• 相等关系：$E_A=\{<x,x>|x\in A\}$，称作 A 上的相等关系。

3.5 关系的几个概念

设 R 为 A 到 B 的二元关系（$R\subseteq A\times B$)，xRy 表示 $<x,y>\in R$ ， ¬ xRy 表示 $<x,y>\notin R$ 。

R 的定义域（domain）：$Dom(R)=\{x|x\in A\bigwedge \exists y(<x,y>\in R)\}$

R 的值域（range）:$Ran(R)=\{y|y\in B\bigwedge \exists x(<x,y>\in R)\}$

同时，称 A 为 R 的前域，B 为 R 的陪域。

3.6 关系的表示法

• 集合表示法：$R=\{<x,y>|P(x,y)\}$ ，适合于表示集合的几种方法均可。
• 关系图法：前域和陪域都是有限集合，一般的关系图，有向箭头表示元素之间存在关系，也可以表示前域和陪域相同的关系图。

• 关系矩阵法：前域和陪域都是有限集合，设关系 $R\subseteq A\times B$，$A=a_1,...,a_m$，$B=b_1,...,b_n$ ，关系 R 的关系矩阵 $M_R$ 的定义为：$m_{ij}=1$ 当且仅当 $a_{1}R{b}_j$ ，$m_{ij}=0$ 当且仅当 $\neg a_{1}R{b}_j$ 。

4 关系基本运算

4.1 运算基本定义

举一个例子，关系相等是指如果关系 R 和 S 具有相同的前域和陪域，并且 $\forall x\forall y(xRy\to xSy)$ 。

可以看出，参与关系运算的两个关系应该具有相同的前域和陪域。但这个条件不是本质的，因为总可以对关系的前域和陪域做适当的扩充，使之满足条件。我们接下来讨论的关系运算的关系默认前域和陪域相等。

4.2 作为集合的关系运算

4.3 关系逆运算（converse）

关系逆运算：$R\sim =\{<y,x>|xRy\},R\subseteq A\times B$

显然，R 的逆关系是 B 到 A 的关系， $R\sim =\subseteq B\times A$

逆关系关系矩阵，为$M_{R\sim }=M_R^T$ ，即原关系矩阵的转置。

逆运算的例子：

逆运算和并交差补等运算都满足分配律，从矩阵转置角度来看，表现为转置运算不会改变矩阵分量的值。

设 $R,S\subseteq A\times B$ ，$\cdot$ 代表并交差运算之一，有以下性质：

• $R\sim \sim =R$ （两次逆复原）
• $(R\sim {)}^{-}=R^{-}\sim$ （逆的补等于补的逆）
• $(R\cdot S)\sim =R\sim \cdot S\sim$ （对并交叉运算的分配律）
• $R\subseteq S$ 当且仅当 $R\sim \subseteq S\sim$

5 关系合成运算

5.1 关系合成运算（composition）的定义

设 $R$ 为 $A$ 到 $B$ 的二元关系， $S$ 为 $B$ 到 $C$ 的二元关系，$R$ 和 $S$ 的合成关系 $R\circ S$ 定义为：

$R\circ S=\{<x,z>|x\in A\bigwedge z\in C\bigwedge \exists y(xRy\bigwedge ySz)\}$ （简化形式：$R\circ S=\{<x,z>|\exists y(xRy\bigwedge ySz)\}$）

$R\circ S\subseteq A\times C$ 是 A 到 C 的二元关系。

由于参与合成的第一个关系的陪域要等于第二个关系的前域，所以合成关系不满足交换律。

5.2 关系合成运算的例子

5.3 关系合成运算的表示方法

5.4 合成运算的性质

5.5 关系的幂运算

关系的幂运算定义为自身的 n 次合成：$R^n=R\circ ...\circ R$

幂运算有以下性质：

• $R^0=E_A$
• $R^m\circ R^n=R^{m+n}$
• $(R^m{)}^n=R^{mn}$

幂关系有限定理：设集合 A 的基数为 n ，R 是 A 上的二元关系，则存在自然数 i，j 使得 $0\le i<j\le 2^{n^2}$ ，有 $R_i=R_j$ 。证明如下：

6 关系基本特性

6.1 A上的一些特殊性质的二元关系

6.2 特殊性质二元关系的例子

7 关系特性定理

7.1 关系特性的一些定理

7.2 关系基本特性的运算封闭性