金融经济学期末梳理（王江）第七章 风险厌恶程度度量
风险厌恶
- Introdution
- 7.1 效用函数的几何意义
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- 7.1.1 偏好和效用函数的关系
- 7.1.2边际效用递减
- 7.2 效用函数的经济意义
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- 7.2.1 风险厌恶
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- 公平赌博
- 参与者风险厌恶
- 7.2.2 风险厌恶的度量：“小”风险
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- 风险溢价
- 风险小的赌博
- 风险厌恶程度的度量：泰特展开
- 绝对风险厌恶系数
- 相对风险厌恶系数
- 7.3 风险厌恶的几个例子
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- 线性或风险中性效用函数
- 负指数效用函数
- 平方效用函数
- 幂指数效用函数
- 对数效用函数
- 双曲线绝对风险厌恶（HARA）效用函数
- * 7.4 风险厌恶的比较
- 7.5 一阶风险厌恶（效用函数不可微）
Introdution
上一章，基于一系列假定，我们得到了单调、凹的期望效用函数，这一章来研究其经济意义
7.1 效用函数的几何意义
7.1.1 偏好和效用函数的关系
首先，两个假定即凸偏好和凹效用函数是等价的。
如何证明：我们来看凹函数的定义:
根据偏好的凸性（无差异曲线）对于消费x>y那么u(x)>u(y)。
u(ax+(1-a)y)>u(y) 且au(x)>au(y) 两个不等式相减，然后将au(x)移项即证。
第一个不等式即无差异曲线上一点与上方一点连线上的效用大于无差异曲线上的效用。
7.1.2边际效用递减
对于凹的效用函数有二阶导小于等于0，即 U ′ U^\prime U′ ′ ^\prime ′ ≤ \leq ≤ 0,这意味边际效用 U ′ U^\prime U′递减，即当消费水平上升是，一单位额外消费得到的效用是递减的。
7.2 效用函数的经济意义
7.2.1 风险厌恶
公平赌博
参与者风险厌恶
风险厌恶者追求确定性财富，厌恶不确定支付即厌恶期望效用，比较基于相同的期望财富，如：
当且仅当u是（严格）凹函数时，参与者是（严格）风险厌恶的。
7.2.2 风险厌恶的度量：“小”风险
风险溢价
参与者偏好确定性财富而非不确定财富，那么要让参与者进行公平赌博，期望财富就应该大于确定性财富，即确定性财富小于期望财富，这里的确定性财富又叫做确定性等值，确定性财富与不确定性情况下的差值又称风险溢价。用公式表示为：
E [ u ( w + g ) ] = u ( w − π ) \ E[u(w+g)] = u(w-\pi) E[u(w+g)]=u(w−π) 其中 π \pi π是风险溢价，g是公平赌博。w- π \pi π是确定性等值即进行期望财富是w的公平赌博的期望效用对应的确定性财富。
注：只是定义风险溢价的一种方法，风险溢价依赖于公平赌博的性质和参与者的风险厌恶程度。
风险小的赌博
当随机变量g取值范围很小时，成g是风险小的赌博。
风险厌恶程度的度量：泰特展开
1、 E [ u ( w + g ) ] \ E[u(w+g)] E[u(w+g)] 将效用函数在w点展开有：
显然由于公平赌博，一阶项为0.
2、将 u ( w − π ) u(w-\pi) u(w−π) 在w点展开有： u ( w − π ) u(w-\pi) u(w−π)= u(w) - π u ′ ( w ) \pi u^\prime(w) πu′(w)+
3、因此，小风险的风险溢价：即w+g在w周围波动时
这意味着风险溢价与公平赌博的方差有关，同时方差可以度量不确定性事件的风险，那么得出结论：风险溢价和风险大小成正比（一阶导>0 二阶导<=0），而比例系数反应了参与者的风险厌恶程度。
绝对风险厌恶系数
与之相反的就是风险容忍系数toler
相对风险厌恶系数
对于一个参与者，拥有不同财富时，他对赌注为100元的公平赌博态度时完全不同的。因此可以考虑基于财富的公平赌博和风险溢价。和上面同样泰勒展开，我们得到了相对风险厌恶系数。
7.3 风险厌恶的几个例子
在本书中，我们研究风险厌恶系数不变的情况。所以考虑绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数不变的几个例子。
线性或风险中性效用函数
u(w)=w
A(w)=0 R(w)=0 常数风险厌恶
负指数效用函数
u(w)=-e − ^ - − a ^a a w ^w w, a>0
A(w)=a R(w)=aw 常数绝对风险厌恶
平方效用函数
u(w)=w- 1 2 a w 2 \frac{1}{2}aw^2 21aw2, a>0,w ∈ [ 0 , 1 a ) \in[0,\frac{1}{a}) ∈[0,a1)
A(w)= a 1 − a w \frac{a}{1-aw} 1−awa,R(w)= a w 1 − a w \frac{aw}{1-aw} 1−awaw
绝对风险厌恶随财富的增加而增加，相对风险厌恶系数随财富的增加而减少即财富越多，它对风险变得越来越容忍。
幂指数效用函数
如下：
绝对风险厌恶系数随财富的增加而减少，常数相对风险厌恶。
对数效用函数
u(w)=log(w)
A(w)= 1 w \frac{1}{w} w1 R(w)=1
绝对风险厌恶系数随财富的增加而减少，常数相对风险厌恶。
双曲线绝对风险厌恶（HARA）效用函数
这类效用函数直接由它们的风险厌恶的度量定义
A(w)= 1 d + w / γ \frac{1}{d+w/\gamma} d+w/γ1 , T(w)= d + w / γ d+w/\gamma d+w/γ
这个效用函数可以度量所有前面效用函数的绝对风险厌恶系数：
风险中性：d=∞
平方： γ \gamma γ=-1 d=1/a
负指数： γ \gamma γ=∞ d=1/a
幂指数： d=0, γ > 0 \gamma>0 γ>0且 γ ≠ 1 \gamma \not=1 γ=1
对数效用：d=0 , γ → 1 \gamma→1 γ→1
* 7.4 风险厌恶的比较
我们已经知道了风险厌恶程度是如何度量得，那么怎么比较两个参与者得风险厌恶程度呢？定理给出了三条等价性质。
可以看到将w与z 一一对应。（2）利用反函数求导公式计算，注意这里x，y仍然是原来的变量，没有交换变量x，y
性质2，3就是说，可以找到一个凹函数使得，参与者2的效用z映射到参与者1的效用，两者通过z= u 2 ( w ) u_2(w) u2(w) 求出w然后带入 u 1 u_1 u1建立联系。
性质4 说明风险厌恶系数越大，风险溢价越大。
7.5 一阶风险厌恶（效用函数不可微）
example：
考虑一个公平赌博：g，我们来计算风险溢价
| -δ | δ |
|---|---|
| 1/2 | 1/2 |
1、 E [ u ( w ‾ + g ) ] \ E[u(\overline w+g)] E[u(w+g)] = u( w ‾ − π \overline w-\pi w−π)
2、 E [ u ( w ‾ + g ) ] \ E[u(\overline w+g)] E[u(w+g)] = 1/2 u ( w ‾ − δ ) u(\overline w-δ) u(w−δ) + 1/2 u ( w ‾ + δ ) u(\overline w+δ) u(w+δ)=
1/2 a − ( w ‾ − δ − w ‾ ) a_-(\overline w-δ-\overline w) a−(w−δ−w) +1/2 a + ( w ‾ + δ − w ‾ ) a_+(\overline w+δ-\overline w) a+(w+δ−w)=
1/2 a − ( − δ ) a_-(-δ) a−(−δ) +1/2 a + ( δ ) a_+(δ) a+(δ)=-1/2( a − − a + ) δ a_-- a_+)δ a−−a+)δ
3、u( w ‾ − π \overline w-\pi w−π) = a − ( w ‾ − π − w ‾ ) a_-(\overline w-\pi-\overline w) a−(w−π−w)= a − ( − π ) a_-(-\pi) a−(−π)
4、-1/2( a − − a + ) δ a_-- a_+)δ a−−a+)δ = a − ( − π ) a_-(-\pi) a−(−π)
π \pi π = [1/2( a − − a + a_-- a_+ a−−a+) / a − a_- a−]δ
这个博弈的方差为 δ 2 δ^2 δ2 可以看到不可微的情况下，风险溢价与标准差成正比，而可微情况下方差成正比。风险很小时，标准差比方差大得多，即高一阶，所以叫做一阶风险厌恶。