良人从零开始的踩坑笔记：浮点数

因为我上课没好好听

什么是浮点数

浮点数，是与定点数相对的概念，指小数点位置约定在固定位置的数。

浮点数的存储标准：IEEE754

浮点数在计算机中以遵循IEEE754浮点数计数标准的方式存储。

IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。

浮点数的数学表示：Sign,Exponent和Significand

$$X=(-1{)}^S\times M\times R^E$$

S，Sign：符号位，决定该浮点数的正负
M，Mantissa/Significand：尾数，取值为[1,2)的二进制小数。
R，Radix base：基数，对浮点数加权，权重为2的E次幂。
E，Exponent：阶/指数，二进制定点（无符号）整数。

考试的时候问你尾数是什么，你要回答小数点后那部分

在基数R一定的情况下:
尾数M的位数反映数X的有效位数，它决定了数的表示精度，有效位数越多，表示精度越高。
阶E的位数决定数X的表示范围，值确定了小数点的位置。

M位数越多，X越精确。
E越大，X越大

浮点数的数据类型：float与double

IEEE754规定浮点数有单精确度、双精确度、延伸单精确度与延伸双精确度四种类型，但是本文只对单精确度float与双精确度double类型作分析学习。

在科学计数法中指数是可以取负数的，所以IEEE754规定计算机存储浮点数时，阶E需要在真实值基础上再减去一个偏移值bias，即127(for float)或1023(for double)

M的取值为[1,2)，即M可写为1.xxxx的形式，xxxx越长浮点数越精确。

规格化尾数M的小数点后第一位总是1，故规定第一位默认的1被省略，由此用23个数表示24位尾数。

浮点数的数值范围

绝对值范围为：
$$2^{-(2^e-1)}\times 2^{-m}\le \left|X\right|\le (1-2^{-m})\times 2^{(2^m-1)}$$
其中e和m分别表示阶数与尾数的位数

float的取值范围

在32位浮点数中，符号位占1位，尾数占23位，阶数占8位。
不考虑阶数全为0或全为1的情况下，8位二进制数取值范围即[1,254]减去其偏移量127，得到阶数的规格化范围为 [-126,127]。

在正常情况下，阶数不包括全为0或全为1的情况
实际的指数值 -127（保存为全0）以及 +128（保存为全 1）保留用作特殊值（见下文）

正数最小值为

Sign	Exponent	Mantissa
0	00000001	00000000000000000000000

$$1.00...0\times 2^{00...1}=1\times 2^{-126}=2^{-126}$$

正数最大值为

Sign	Exponent	Mantissa
0	11111110	11111111111111111111111

$$1.11...1\times 2^{11111110}=(2-2^{-23})\times 2^{127}\approx 3.4028234664\times 10^{38}$$

于是对于正浮点数有：
$$1.0\times 2^{-126}\approx 1.1755\times 10^{-38}\le FloatNum\le (2-2^{-23})\times 2^{127}\approx 3.4028\times 10^{38}$$

同理对于负浮点数有
$$-(2-2^{-23})\times 2^{127}\approx -3.4028\times 10^{38}\le FloatNum\le -1.0\times 2^{-126}\approx -1.1755\times 10^{-38}\approx 3.4028\times 10^{-38}$$

double的取值范围

在64位浮点数中，符号位占1位，尾数占52位，阶数占11位。
不考虑阶数全为0或全为1的情况下，11位二进制数取值范围即[1,2046]减去其偏移量1023，得到阶数的规格化范围为 [-1022,1023]。

实际的指数值 -1023（保存为全0）以及 +1024（保存为全 1）保留用作特殊值

正数最小值为

Sign	Exponent	Mantissa
0	00000000001	0000000000000000000000000000000000000000000000000000

$$1.00...0\times 2^{00...1}=1\times 2^{-1022}=2^{-1022}$$

正数最大值为

Sign	Exponent	Mantissa
0	11111111110	1111111111111111111111111111111111111111111111111111

$$1.11...1\times 2^{11...10}=(2-2^{-52})\times 2^{1023}\approx 1.7976931348623157\times 10^{308}$$

于是对于正浮点数有：
$$1.0\times 2^{-1022}\approx 2.2251\times 10^{-308}\le DoubleNum\le (2-2^{-52})\times 2^{1023}\approx 1.7977\times 10^{308}$$

同理对于负浮点数有
$$-(2-2^{-52})\times 2^{1023}\approx -1.7977\times 10^{308}\le DoubleNum\le -1.0\times 2^{-1022}\approx -2.2251\times 10^{-308}$$

浮点数的特殊取值

Single-precision floating-point format:
https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format
Double-precision floating-point format:
https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

这里贴一个小工具，在IEEE754的标准下手动控制输入Sign,Exponent和Mantissa的值，输出对应的十进制值，二进制值，十六进制值，非常简单直观
https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

常见浮点数特殊值取值如下表

	Sign	Exponent	Mantissa
0	Both cases valid	all zeros	all zeros
$$+\infty$$	zero	all ones	all zeros
$$-\infty$$	one	all ones	all zeros
NaN	Both cases valid	all ones	nonzero
Denorms	Both cases valid	all zeros	nonzero

更多特殊值见上floating-point format from Wikipedia

浮点数与其他数制的转换

将十进制数-0.75转换为IEEE754的单精度浮点数格式表示
(-0.75) ₁₀ = (-0.11) ₂ = (-1.1) ₂ × 2^-1 = (-1)^s × 1.f × 2^e-127
s = 1，f = 0.100…0，e = (127-1) ₁₀ = ( 01111 1110 ) ₂ ，表示为单精度浮点数格式为 1 0111 1110 1000 0000…0000 000，用十六进制表示为BF40 0000H

求IEEE754单精度浮点数C0A0 0000H的值是多少
将C0A0 0000H展开为一个32位单精度浮点数：1 10000001 010 0000…0000.
s = 1，f = (0.01) ₂ = (0.25) ₁₀ ，阶码e = (10000001) ₂ = (129)₁₀
所以其值为( -1 )^s × 1.f × 2^e-127 = （-1）¹ × 1.25 × 2^129-127 = -1.25 × 2² = -5.0

浮点数运算

五种异常情况

1.无效运算（无意义）

-运算时有一个数是非有限数，如：
加/减 ∞，0 × ∞，∞ / ∞等

-结果无效，如：
源操作数是NaN、0 / 0、x REM 0、∞ REM y等

2.除以0
结果即无限大

3.阶上溢
对于float，指阶码exponent > 1111 1110，即大于127

4.阶下溢
对于float，指阶码exponent < 0000 0001，即小于-126

5.结果不精确
舍入时引起的异常，如1/3、1/10等不能精确表示为浮点数

浮点数加法

设X_m、Y_m分别是X和Y的尾数，X_e、Y_e分别是X和Y的阶码

1.对阶

对阶的目的是使两数阶码相等

小阶向大阶看齐，阶码小的数的尾数向右移，右移位数等于两个阶码差的绝对值Δ_e = Y_e - X_e。

IEEE754尾数右移时，要将隐藏的“1”移到小数部分，高位补0，移出的低位保留到特定的“附加位”上

2.尾数加减

X_m × 2^(X_e-Y_e) ± Y_m

3.尾数规格化

当尾数高位为0，则需左规：尾数左移一次，阶码减一，直到MSB（阶码最高位）为1

每次阶码减一后要判断阶码是否下溢，阶码下溢则结果为0

当尾数最高位有进位，则需右规：尾数右移一次，阶码加一，直到MSB为1

每次阶码加一后要判断阶码是否上溢，阶码上溢则结果溢出

右规最多只需要一次，因为即使是最大的两个尾数相加(1.11…1+1.11…1)，其结果也不会达到4，故尾数的整数部分最多有2位，保留一个隐含的"1"后，最多只有一位被右移到小数部分

4.舍入

如果尾数比规定数位长（有附加位），则需考虑舍入（舍入的方式有多种）
没写完，等我考完试

5.校验

若运算结果尾数为0，则说明结果为0，即阶码和尾数均应为0，需要将阶码也置0.

用二进制浮点数形式计算0.5 +（-0.4375）的值
(0.5)₁₀ = 1.000 × 2^-1（大阶），(-0.4375) = -1.110 × 2^-2（小阶）
对阶： -1.110 × 2^-2 → 0.111 × 2^-1
加减： 1.000 × 2^-1 + (-0.111 × 2^-1) = 0.001 × 2^-1
左规： 0.001 × 2^-1 → 1.000 × 2^-4
判断溢出：否
所以结果为1.000 × 2^-4 = 0.0001000 = 1/16 = 0.0625