程序员的算法趣题：Q03 翻牌（Java版）

题目说明

有 100 张写着数字 1~100 的牌，并按顺序排列着。
最开始所有牌都是背面朝上放置。
某人从第 2 张牌开始，隔 1 张牌翻牌。然后第 2, 4, 6, ..., 100 张牌就会变成正面朝上。
接下来，另一个人从第 3 张牌开始，隔 2 张牌翻牌（原本背面朝上的，翻转成正面朝上；原本正面朝上的，翻转成背面朝上）。
再接下来，又有一个人从第 4 张牌开始，隔 3 张牌翻牌...
像这样，从第 n 张牌开始，每隔 n－1 张牌翻牌，直到没有可翻动的牌为止。
求此时所有背面朝上的牌的数字

思路

1.用boolean[]表示这100张牌，false背面朝上；true正面朝上
2.start表示每一轮翻牌的起始下标；skip表示每一轮隔几张牌（为便于理解，所以用两个变量表示，代码层面可以二合一）
3.翻牌：true变false; false变true

代码

public static void main(String[] args) {
    boolean[] arr = new boolean[100]; // 表示100张牌，默认是false（背面朝上）

    // start表示每一轮翻的第一张牌的下标; skip表示每一轮隔几张牌翻一次
    for(int start = 1, skip = 1; start < arr.length; start ++, skip ++){
        int i = start;
        while(i < arr.length){
            arr[i] = !arr[i]; // 翻牌
            i += skip + 1; // 注意：相隔s张牌，两张牌的下标相差(s+1)。比如1和4，相隔2张牌，下标相差3
        }
        System.out.println("skip = " + skip); // 与start的值相同，该变量可以用start代替
        print(arr); // 自定义的方法print(xx)，便于查看每一轮翻牌后的状态
    }

    // 统计最终结果，打印为false的牌的数字
    for(int i = 0; i < arr.length; i ++){
        if(! arr[i]) System.out.print(i+1+" ");
    }
}

// 每十个换一行，输出当前数组的内容
private static void print(boolean[] arr){
    for(int i = 0; i < arr.length; i ++){
        System.out.print((arr[i] ? 1 : 0) + " "); // 1 true;  0 false
        if((i+1)%10==0) System.out.println();
    }
    System.out.println("-------------------");
}

 结果

skip = 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 
-------------------
skip = 2
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 
-------------------
......省略......
-------------------
skip = 99
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
-------------------
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 

引申

为啥都是平方数？

1.翻牌次数的奇偶决定了最终正面朝上or背面朝上。（初始背面朝上。翻牌奇数次，正面朝上；翻牌偶数次，背面朝上）
==> 题目转化为：求解翻转了"偶数"次的牌

2.何时翻转？
假设一张牌的数字为n，则当(skip+1)为n的约数时，n会被翻

轮数	skip+1	被翻的牌	规律
1	2	2,4,6,8,10,12,...	2的倍数
2	3	3,6,9,12,15,18,...	3的倍数
3	4	4,8,12,16,20,24,...	4的倍数
4	5	5,10,15,20,25,30,...	5的倍数
5	6	6,12,18,24,30,36,...	6的倍数
6	7	7,14,21,28,35,42,...	7的倍数
x	x+1	————	(x+1)的倍数

比如数字牌12，我们会发现只有当(skip+1)为2,3,4,6,12时，才会被翻牌。而这些数字都是12的约数。
==> 题目转化为：求数字的约数(去掉1后)个数为"偶数"的牌，或者说约数总个数为"奇数"的牌

3.约数总个数为"奇数"的数字都有什么特征？
我们已知：所有约数罗列出来后，首尾两两相乘，得到的就是它本身

数字	约数	演示	备注
9	1,3,9	1*9=9;	剩3
16	1,2,4,8,16	1*16=16; 2*8=16;	剩4
25	1,5,25	1*25=25;	剩5
36	1,2,3,6,12,18,36	1*36=36; 2*18=36; 3*12=36;	剩6

这些数字本身 = 中间那个约数的平方，所以程序最终结果都是平方数也就不足为奇了。